Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3766 / 2503
↖ ↑ ↗
← N 57.160078°
W 14.501953°		 ← 2 649.91 m → N 57.160078°
W 14.458008°		 →
↑
2 650.78 m
↓
↑
2 650.78 m
↓
N 57.136239°
W 14.501953°		 ← 2 651.62 m →
7 026 610 m²		 N 57.136239°
W 14.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45977783203125 y=0.30560302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45977783203125 × 213)
    floor (0.45977783203125 × 8192)
    floor (3766.5)     		tx = 3766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30560302734375 × 213)
    floor (0.30560302734375 × 8192)
    floor (2503.5)     		ty = 2503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3766 / 2503 ti = "13/3766/2503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3766/2503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3766 ÷ 213
    3766 ÷ 8192     		x = 0.459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2503 ÷ 213
    2503 ÷ 8192     		y = 0.3055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.08056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25310683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3055419921875 × 2 - 1) × π
    0.388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22181569751599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25310683} λ = -0.25310683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22181569751599))-π/2
    2×atan(3.39334342872447)-π/2
    2×1.2842139466197-π/2
    2.5684278932394-1.57079632675     		φ = 0.99763157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25310683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99763157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.160078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3766 KachelY 2503 -0.25310683 0.99763157 -14.501953 57.160078
    Oben rechts KachelX + 1 3767 KachelY 2503 -0.25233984 0.99763157 -14.458008 57.160078
    Unten links KachelX 3766 KachelY + 1 2504 -0.25310683 0.99721550 -14.501953 57.136239
    Unten rechts KachelX + 1 3767 KachelY + 1 2504 -0.25233984 0.99721550 -14.458008 57.136239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99763157-0.99721550) × R
    0.000416069999999991 × 6371000     		dl = 2650.78196999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99763157-0.99721550) × R
    0.000416069999999991 × 6371000     		dr = 2650.78196999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25310683--0.25233984) × cos(0.99763157) × R
    0.000766990000000023 × 0.542293753727888 × 6371000     		do = 2649.91478880032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25310683--0.25233984) × cos(0.99721550) × R
    0.000766990000000023 × 0.542643284198053 × 6371000     		du = 2651.62276709743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99763157)-sin(0.99721550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542293753727888-0.542643284198053)×R²
    abs(-0.25233984--0.25310683)×0.000349530470164505×R²
    0.000766990000000023×0.000349530470164505×6371000²
    0.000766990000000023×0.000349530470164505×40589641000000     		ar = 7026610.18459011m²