Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3766 / 1919
↖ ↑ ↗
← N 68.672544°
W 14.501953°		 ← 1 777.21 m → N 68.672544°
W 14.458008°		 →
↑
1 777.83 m
↓
↑
1 777.83 m
↓
N 68.656555°
W 14.501953°		 ← 1 778.48 m →
3 160 695 m²		 N 68.656555°
W 14.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45977783203125 y=0.23431396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45977783203125 × 213)
    floor (0.45977783203125 × 8192)
    floor (3766.5)     		tx = 3766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23431396484375 × 213)
    floor (0.23431396484375 × 8192)
    floor (1919.5)     		ty = 1919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3766 / 1919 ti = "13/3766/1919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3766/1919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3766 ÷ 213
    3766 ÷ 8192     		x = 0.459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1919 ÷ 213
    1919 ÷ 8192     		y = 0.2342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.08056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25310683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2342529296875 × 2 - 1) × π
    0.531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6697380875658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25310683} λ = -0.25310683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6697380875658))-π/2
    2×atan(5.31077665656897)-π/2
    2×1.3846791583107-π/2
    2.76935831662139-1.57079632675     		φ = 1.19856199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25310683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19856199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.672544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3766 KachelY 1919 -0.25310683 1.19856199 -14.501953 68.672544
    Oben rechts KachelX + 1 3767 KachelY 1919 -0.25233984 1.19856199 -14.458008 68.672544
    Unten links KachelX 3766 KachelY + 1 1920 -0.25310683 1.19828294 -14.501953 68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 3767 KachelY + 1 1920 -0.25233984 1.19828294 -14.458008 68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19856199-1.19828294) × R
    0.000279050000000058 × 6371000     		dl = 1777.82755000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19856199-1.19828294) × R
    0.000279050000000058 × 6371000     		dr = 1777.82755000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25310683--0.25233984) × cos(1.19856199) × R
    0.000766990000000023 × 0.363697660885963 × 6371000     		do = 1777.20617950801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25310683--0.25233984) × cos(1.19828294) × R
    0.000766990000000023 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 1778.47630454359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19856199)-sin(1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363697660885963-0.363957586554578)×R²
    abs(-0.25233984--0.25310683)×0.000259925668614713×R²
    0.000766990000000023×0.000259925668614713×6371000²
    0.000766990000000023×0.000259925668614713×40589641000000     		ar = 3160695.16011125m²