Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3766 / 1916
↖ ↑ ↗
← N 68.720440°
W 14.501953°		 ← 1 773.40 m → N 68.720440°
W 14.458008°		 →
↑
1 774 m
↓
↑
1 774 m
↓
N 68.704486°
W 14.501953°		 ← 1 774.67 m →
3 147 146 m²		 N 68.704486°
W 14.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45977783203125 y=0.23394775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45977783203125 × 213)
    floor (0.45977783203125 × 8192)
    floor (3766.5)     		tx = 3766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23394775390625 × 213)
    floor (0.23394775390625 × 8192)
    floor (1916.5)     		ty = 1916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3766 / 1916 ti = "13/3766/1916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3766/1916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3766 ÷ 213
    3766 ÷ 8192     		x = 0.459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1916 ÷ 213
    1916 ÷ 8192     		y = 0.23388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.08056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25310683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23388671875 × 2 - 1) × π
    0.5322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25310683} λ = -0.25310683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67203905874756))-π/2
    2×atan(5.32301067026728)-π/2
    2×1.38509713907168-π/2
    2.77019427814337-1.57079632675     		φ = 1.19939795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25310683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19939795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.720440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3766 KachelY 1916 -0.25310683 1.19939795 -14.501953 68.720440
    Oben rechts KachelX + 1 3767 KachelY 1916 -0.25233984 1.19939795 -14.458008 68.720440
    Unten links KachelX 3766 KachelY + 1 1917 -0.25310683 1.19911950 -14.501953 68.704486
    Unten rechts KachelX + 1 3767 KachelY + 1 1917 -0.25233984 1.19911950 -14.458008 68.704486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19939795-1.19911950) × R
    0.000278450000000152 × 6371000     		dl = 1774.00495000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19939795-1.19911950) × R
    0.000278450000000152 × 6371000     		dr = 1774.00495000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25310683--0.25233984) × cos(1.19939795) × R
    0.000766990000000023 × 0.362918822903626 × 6371000     		do = 1773.40039293332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25310683--0.25233984) × cos(1.19911950) × R
    0.000766990000000023 × 0.363178274321431 × 6371000     		du = 1774.66820054551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19939795)-sin(1.19911950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362918822903626-0.363178274321431)×R²
    abs(-0.25233984--0.25310683)×0.000259451417805034×R²
    0.000766990000000023×0.000259451417805034×6371000²
    0.000766990000000023×0.000259451417805034×40589641000000     		ar = 3147145.6442234m²