Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37659 / 27827
↖ ↑ ↗
← N 26.180089°
E 26.867065°		 ← 548.19 m → N 26.180089°
E 26.872559°		 →
↑
548.16 m
↓
↑
548.16 m
↓
N 26.175159°
E 26.867065°		 ← 548.21 m →
300 500 m²		 N 26.175159°
E 26.872559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574638366699219 y=0.424613952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574638366699219 × 216)
    floor (0.574638366699219 × 65536)
    floor (37659.5)     		tx = 37659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424613952636719 × 216)
    floor (0.424613952636719 × 65536)
    floor (27827.5)     		ty = 27827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37659 / 27827 ti = "16/37659/27827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37659/27827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37659 ÷ 216
    37659 ÷ 65536     		x = 0.574630737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27827 ÷ 216
    27827 ÷ 65536     		y = 0.424606323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574630737304688 × 2 - 1) × π
    0.149261474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46891875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424606323242188 × 2 - 1) × π
    0.150787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.473712442045395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46891875} λ = 0.46891875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473712442045395))-π/2
    2×atan(1.6059451183302)-π/2
    2×1.01386253674377-π/2
    2.02772507348755-1.57079632675     		φ = 0.45692875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46891875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.867065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45692875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.180089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37659 KachelY 27827 0.46891875 0.45692875 26.867065 26.180089
    Oben rechts KachelX + 1 37660 KachelY 27827 0.46901463 0.45692875 26.872559 26.180089
    Unten links KachelX 37659 KachelY + 1 27828 0.46891875 0.45684271 26.867065 26.175159
    Unten rechts KachelX + 1 37660 KachelY + 1 27828 0.46901463 0.45684271 26.872559 26.175159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45692875-0.45684271) × R
    8.60400000000094e-05 × 6371000     		dl = 548.16084000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45692875-0.45684271) × R
    8.60400000000094e-05 × 6371000     		dr = 548.16084000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46891875-0.46901463) × cos(0.45692875) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.897411744966958 × 6371000     		do = 548.185292582407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46891875-0.46901463) × cos(0.45684271) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.897449701978355 × 6371000     		du = 548.208478678995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45692875)-sin(0.45684271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897411744966958-0.897449701978355)×R²
    abs(0.46901463-0.46891875)×3.79570113968608e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79570113968608e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79570113968608e-05×40589641000000     		ar = 300500.065498205m²