Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37658 / 27850
↖ ↑ ↗
← N 26.066652°
E 26.861572°		 ← 548.66 m → N 26.066652°
E 26.867065°		 →
↑
548.67 m
↓
↑
548.67 m
↓
N 26.061718°
E 26.861572°		 ← 548.68 m →
301 040 m²		 N 26.061718°
E 26.867065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574623107910156 y=0.424964904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574623107910156 × 216)
    floor (0.574623107910156 × 65536)
    floor (37658.5)     		tx = 37658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424964904785156 × 216)
    floor (0.424964904785156 × 65536)
    floor (27850.5)     		ty = 27850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37658 / 27850 ti = "16/37658/27850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37658/27850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37658 ÷ 216
    37658 ÷ 65536     		x = 0.574615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27850 ÷ 216
    27850 ÷ 65536     		y = 0.424957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574615478515625 × 2 - 1) × π
    0.14923095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46882288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424957275390625 × 2 - 1) × π
    0.15008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.471507344662872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46882288} λ = 0.46882288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471507344662872))-π/2
    2×atan(1.60240775450251)-π/2
    2×1.01287261578649-π/2
    2.02574523157299-1.57079632675     		φ = 0.45494890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46882288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.861572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45494890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.066652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37658 KachelY 27850 0.46882288 0.45494890 26.861572 26.066652
    Oben rechts KachelX + 1 37659 KachelY 27850 0.46891875 0.45494890 26.867065 26.066652
    Unten links KachelX 37658 KachelY + 1 27851 0.46882288 0.45486278 26.861572 26.061718
    Unten rechts KachelX + 1 37659 KachelY + 1 27851 0.46891875 0.45486278 26.867065 26.061718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45494890-0.45486278) × R
    8.61199999999673e-05 × 6371000     		dl = 548.670519999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45494890-0.45486278) × R
    8.61199999999673e-05 × 6371000     		dr = 548.670519999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46882288-0.46891875) × cos(0.45494890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898283483530013 × 6371000     		do = 548.660565733116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46882288-0.46891875) × cos(0.45486278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898321322740246 × 6371000     		du = 548.683677459953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45494890)-sin(0.45486278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898283483530013-0.898321322740246)×R²
    abs(0.46891875-0.46882288)×3.78392102335923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78392102335923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78392102335923e-05×40589641000000     		ar = 301040.218451777m²