Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37654 / 28066
↖ ↑ ↗
← N 24.996015°
E 26.839599°		 ← 553.64 m → N 24.996015°
E 26.845093°		 →
↑
553.58 m
↓
↑
553.58 m
↓
N 24.991037°
E 26.839599°		 ← 553.66 m →
306 487 m²		 N 24.991037°
E 26.845093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574562072753906 y=0.428260803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574562072753906 × 216)
    floor (0.574562072753906 × 65536)
    floor (37654.5)     		tx = 37654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428260803222656 × 216)
    floor (0.428260803222656 × 65536)
    floor (28066.5)     		ty = 28066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37654 / 28066 ti = "16/37654/28066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37654/28066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37654 ÷ 216
    37654 ÷ 65536     		x = 0.574554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28066 ÷ 216
    28066 ÷ 65536     		y = 0.428253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574554443359375 × 2 - 1) × π
    0.14910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46843938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428253173828125 × 2 - 1) × π
    0.14349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.450798604027008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46843938} λ = 0.46843938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450798604027008))-π/2
    2×atan(1.56956514616023)-π/2
    2×1.00352955068155-π/2
    2.00705910136309-1.57079632675     		φ = 0.43626277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46843938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.839599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43626277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.996015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37654 KachelY 28066 0.46843938 0.43626277 26.839599 24.996015
    Oben rechts KachelX + 1 37655 KachelY 28066 0.46853526 0.43626277 26.845093 24.996015
    Unten links KachelX 37654 KachelY + 1 28067 0.46843938 0.43617588 26.839599 24.991037
    Unten rechts KachelX + 1 37655 KachelY + 1 28067 0.46853526 0.43617588 26.845093 24.991037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43626277-0.43617588) × R
    8.68900000000061e-05 × 6371000     		dl = 553.576190000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43626277-0.43617588) × R
    8.68900000000061e-05 × 6371000     		dr = 553.576190000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46843938-0.46853526) × cos(0.43626277) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.906337174986248 × 6371000     		do = 553.637404719326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46843938-0.46853526) × cos(0.43617588) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.906373887389063 × 6371000     		du = 553.65983054492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43626277)-sin(0.43617588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906337174986248-0.906373887389063)×R²
    abs(0.46853526-0.46843938)×3.67124028153309e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.67124028153309e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.67124028153309e-05×40589641000000     		ar = 306486.692540408m²