Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3765 / 4117
↖ ↑ ↗
← N 79.127904°
W138.636475°		 ← 230.42 m → N 79.127904°
W138.625488°		 →
↑
230.44 m
↓
↑
230.44 m
↓
N 79.125832°
W138.636475°		 ← 230.47 m →
53 103 m²		 N 79.125832°
W138.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114913940429688 y=0.125656127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114913940429688 × 215)
    floor (0.114913940429688 × 32768)
    floor (3765.5)     		tx = 3765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125656127929688 × 215)
    floor (0.125656127929688 × 32768)
    floor (4117.5)     		ty = 4117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3765 / 4117 ti = "15/3765/4117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3765/4117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3765 ÷ 215
    3765 ÷ 32768     		x = 0.114898681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4117 ÷ 215
    4117 ÷ 32768     		y = 0.125640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.77020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.41966295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125640869140625 × 2 - 1) × π
    0.74871826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35216779055692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41966295} λ = -2.41966295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35216779055692))-π/2
    2×atan(10.5083248990756)-π/2
    2×1.47591939225573-π/2
    2.95183878451145-1.57079632675     		φ = 1.38104246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41966295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.636475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38104246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.127904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3765 KachelY 4117 -2.41966295 1.38104246 -138.636475 79.127904
    Oben rechts KachelX + 1 3766 KachelY 4117 -2.41947120 1.38104246 -138.625488 79.127904
    Unten links KachelX 3765 KachelY + 1 4118 -2.41966295 1.38100629 -138.636475 79.125832
    Unten rechts KachelX + 1 3766 KachelY + 1 4118 -2.41947120 1.38100629 -138.625488 79.125832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38104246-1.38100629) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dl = 230.439070000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38104246-1.38100629) × R
    3.6170000000002e-05 × 6371000     		dr = 230.439070000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41966295--2.41947120) × cos(1.38104246) × R
    0.000191750000000379 × 0.188617185408444 × 6371000     		do = 230.422156919938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41966295--2.41947120) × cos(1.38100629) × R
    0.000191750000000379 × 0.188652706058506 × 6371000     		du = 230.465550340239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38104246)-sin(1.38100629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188617185408444-0.188652706058506)×R²
    abs(-2.41947120--2.41966295)×3.55206500619043e-05×R²
    0.000191750000000379×3.55206500619043e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.55206500619043e-05×40589641000000     		ar = 53103.2673230231m²