Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37648 / 29424
↖ ↑ ↗
← N 69.915214°
W 76.596680°		 ← 104.89 m → N 69.915214°
W 76.593933°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
N 69.914271°
W 76.596680°		 ← 104.89 m →
10 999 m²		 N 69.914271°
W 76.593933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287235260009766 y=0.224491119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287235260009766 × 217)
    floor (0.287235260009766 × 131072)
    floor (37648.5)     		tx = 37648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224491119384766 × 217)
    floor (0.224491119384766 × 131072)
    floor (29424.5)     		ty = 29424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37648 / 29424 ti = "17/37648/29424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37648/29424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37648 ÷ 217
    37648 ÷ 131072     		x = 0.2872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29424 ÷ 217
    29424 ÷ 131072     		y = 0.2244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33686426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2244873046875 × 2 - 1) × π
    0.551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73109731907947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33686426} λ = -1.33686426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73109731907947))-π/2
    2×atan(5.64684690280674)-π/2
    2×1.39552350709719-π/2
    2.79104701419438-1.57079632675     		φ = 1.22025069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33686426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22025069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.915214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37648 KachelY 29424 -1.33686426 1.22025069 -76.596680 69.915214
    Oben rechts KachelX + 1 37649 KachelY 29424 -1.33681632 1.22025069 -76.593933 69.915214
    Unten links KachelX 37648 KachelY + 1 29425 -1.33686426 1.22023423 -76.596680 69.914271
    Unten rechts KachelX + 1 37649 KachelY + 1 29425 -1.33681632 1.22023423 -76.593933 69.914271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22025069-1.22023423) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dl = 104.866660000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22025069-1.22023423) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dr = 104.866660000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33686426--1.33681632) × cos(1.22025069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343410312702587 × 6371000     		do = 104.88634888075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33686426--1.33681632) × cos(1.22023423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34342577164899 × 6371000     		du = 104.891070440895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22025069)-sin(1.22023423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343410312702587-0.34342577164899)×R²
    abs(-1.33681632--1.33686426)×1.54589464034793e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54589464034793e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54589464034793e-05×40589641000000     		ar = 10999.3286542206m²