Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37641 / 27913
↖ ↑ ↗
← N 71.292866°
W 76.615905°		 ← 97.94 m → N 71.292866°
W 76.613159°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
N 71.291986°
W 76.615905°		 ← 97.94 m →
9 591 m²		 N 71.291986°
W 76.613159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287181854248047 y=0.212963104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287181854248047 × 217)
    floor (0.287181854248047 × 131072)
    floor (37641.5)     		tx = 37641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212963104248047 × 217)
    floor (0.212963104248047 × 131072)
    floor (27913.5)     		ty = 27913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37641 / 27913 ti = "17/37641/27913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37641/27913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37641 ÷ 217
    37641 ÷ 131072     		x = 0.287178039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27913 ÷ 217
    27913 ÷ 131072     		y = 0.212959289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287178039550781 × 2 - 1) × π
    -0.425643920898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.33719981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212959289550781 × 2 - 1) × π
    0.574081420898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.80352997440537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33719981} λ = -1.33719981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80352997440537))-π/2
    2×atan(6.07104030099247)-π/2
    2×1.40754578855339-π/2
    2.81509157710679-1.57079632675     		φ = 1.24429525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33719981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.615905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24429525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.292866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37641 KachelY 27913 -1.33719981 1.24429525 -76.615905 71.292866
    Oben rechts KachelX + 1 37642 KachelY 27913 -1.33715188 1.24429525 -76.613159 71.292866
    Unten links KachelX 37641 KachelY + 1 27914 -1.33719981 1.24427988 -76.615905 71.291986
    Unten rechts KachelX + 1 37642 KachelY + 1 27914 -1.33715188 1.24427988 -76.613159 71.291986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24429525-1.24427988) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dl = 97.9222700004463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24429525-1.24427988) × R
    1.537000000007e-05 × 6371000     		dr = 97.9222700004463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33719981--1.33715188) × cos(1.24429525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32073092209964 × 6371000     		do = 97.9390454561779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33719981--1.33715188) × cos(1.24427988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.320745480070065 × 6371000     		du = 97.9434909075795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24429525)-sin(1.24427988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32073092209964-0.320745480070065)×R²
    abs(-1.33715188--1.33719981)×1.45579704246557e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45579704246557e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45579704246557e-05×40589641000000     		ar = 9590.63130739073m²