Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37640 / 27973
↖ ↑ ↗
← N 25.458155°
E 26.762695°		 ← 551.48 m → N 25.458155°
E 26.768188°		 →
↑
551.47 m
↓
↑
551.47 m
↓
N 25.453195°
E 26.762695°		 ← 551.50 m →
304 133 m²		 N 25.453195°
E 26.768188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574348449707031 y=0.426841735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574348449707031 × 216)
    floor (0.574348449707031 × 65536)
    floor (37640.5)     		tx = 37640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426841735839844 × 216)
    floor (0.426841735839844 × 65536)
    floor (27973.5)     		ty = 27973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37640 / 27973 ti = "16/37640/27973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37640/27973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37640 ÷ 216
    37640 ÷ 65536     		x = 0.5743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27973 ÷ 216
    27973 ÷ 65536     		y = 0.426834106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46709715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426834106445312 × 2 - 1) × π
    0.146331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.459714867356338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46709715} λ = 0.46709715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459714867356338))-π/2
    2×atan(1.58362237817837)-π/2
    2×1.00756247525657-π/2
    2.01512495051315-1.57079632675     		φ = 0.44432862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46709715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.762695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44432862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.458155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37640 KachelY 27973 0.46709715 0.44432862 26.762695 25.458155
    Oben rechts KachelX + 1 37641 KachelY 27973 0.46719302 0.44432862 26.768188 25.458155
    Unten links KachelX 37640 KachelY + 1 27974 0.46709715 0.44424206 26.762695 25.453195
    Unten rechts KachelX + 1 37641 KachelY + 1 27974 0.46719302 0.44424206 26.768188 25.453195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44432862-0.44424206) × R
    8.65600000000133e-05 × 6371000     		dl = 551.473760000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44432862-0.44424206) × R
    8.65600000000133e-05 × 6371000     		dr = 551.473760000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46709715-0.46719302) × cos(0.44432862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902899462759728 × 6371000     		do = 551.4799493932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46709715-0.46719302) × cos(0.44424206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902936667347954 × 6371000     		du = 551.502673500676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44432862)-sin(0.44424206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902899462759728-0.902936667347954)×R²
    abs(0.46719302-0.46709715)×3.72045882258698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72045882258698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72045882258698e-05×40589641000000     		ar = 304132.987320778m²