Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37640 / 102664
↖ ↑ ↗
← S 70.851881°
W 76.618652°		 ← 100.18 m → S 70.851881°
W 76.615905°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
S 70.852782°
W 76.618652°		 ← 100.18 m →
10 033 m²		 S 70.852782°
W 76.615905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287174224853516 y=0.783267974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287174224853516 × 217)
    floor (0.287174224853516 × 131072)
    floor (37640.5)     		tx = 37640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783267974853516 × 217)
    floor (0.783267974853516 × 131072)
    floor (102664.5)     		ty = 102664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37640 / 102664 ti = "17/37640/102664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37640/102664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37640 ÷ 217
    37640 ÷ 131072     		x = 0.28717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102664 ÷ 217
    102664 ÷ 131072     		y = 0.78326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.4256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33724775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77980120909344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33724775} λ = -1.33724775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77980120909344))-π/2
    2×atan(0.168671674331098)-π/2
    2×0.167098859134578-π/2
    0.334197718269155-1.57079632675     		φ = -1.23659861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33724775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.618652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23659861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.851881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37640 KachelY 102664 -1.33724775 -1.23659861 -76.618652 -70.851881
    Oben rechts KachelX + 1 37641 KachelY 102664 -1.33719981 -1.23659861 -76.615905 -70.851881
    Unten links KachelX 37640 KachelY + 1 102665 -1.33724775 -1.23661433 -76.618652 -70.852782
    Unten rechts KachelX + 1 37641 KachelY + 1 102665 -1.33719981 -1.23661433 -76.615905 -70.852782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23659861--1.23661433) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dl = 100.152120001041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23659861--1.23661433) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dr = 100.152120001041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33724775--1.33719981) × cos(-1.23659861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328011379617537 × 6371000     		do = 100.183118348041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33724775--1.33719981) × cos(-1.23661433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327996529305318 × 6371000     		du = 100.178582680443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23659861)-sin(-1.23661433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328011379617537-0.327996529305318)×R²
    abs(-1.33719981--1.33724775)×1.4850312218706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4850312218706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4850312218706e-05×40589641000000     		ar = 10033.3245626068m²