Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3764 / 5349
↖ ↑ ↗
← S 48.136767°
W 14.589844°		 ← 3 261.02 m → S 48.136767°
W 14.545898°		 →
↑
3 260.10 m
↓
↑
3 260.10 m
↓
S 48.166086°
W 14.589844°		 ← 3 259.16 m →
10 628 245 m²		 S 48.166086°
W 14.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45953369140625 y=0.65301513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45953369140625 × 213)
    floor (0.45953369140625 × 8192)
    floor (3764.5)     		tx = 3764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65301513671875 × 213)
    floor (0.65301513671875 × 8192)
    floor (5349.5)     		ty = 5349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3764 / 5349 ti = "13/3764/5349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3764/5349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3764 ÷ 213
    3764 ÷ 8192     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5349 ÷ 213
    5349 ÷ 8192     		y = 0.6529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.961038963582886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961038963582886))-π/2
    2×atan(0.382495280794855)-π/2
    2×0.365325628494146-π/2
    0.730651256988292-1.57079632675     		φ = -0.84014507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84014507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.136767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3764 KachelY 5349 -0.25464081 -0.84014507 -14.589844 -48.136767
    Oben rechts KachelX + 1 3765 KachelY 5349 -0.25387382 -0.84014507 -14.545898 -48.136767
    Unten links KachelX 3764 KachelY + 1 5350 -0.25464081 -0.84065678 -14.589844 -48.166086
    Unten rechts KachelX + 1 3765 KachelY + 1 5350 -0.25387382 -0.84065678 -14.545898 -48.166086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84014507--0.84065678) × R
    0.000511709999999943 × 6371000     		dl = 3260.10440999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84014507--0.84065678) × R
    0.000511709999999943 × 6371000     		dr = 3260.10440999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25387382) × cos(-0.84014507) × R
    0.000766990000000023 × 0.667354793440794 × 6371000     		do = 3261.02472019787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25387382) × cos(-0.84065678) × R
    0.000766990000000023 × 0.666973615209768 × 6371000     		du = 3259.16209532967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84014507)-sin(-0.84065678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667354793440794-0.666973615209768)×R²
    abs(-0.25387382--0.25464081)×0.000381178231025792×R²
    0.000766990000000023×0.000381178231025792×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381178231025792×40589641000000     		ar = 10628245.1275783m²