Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3764 / 3756
↖ ↑ ↗
← S 81.672424°
E150.820312°		 ← 1 415.45 m → S 81.672424°
E150.908203°		 →
↑
1 414.36 m
↓
↑
1 414.36 m
↓
S 81.685144°
E150.820312°		 ← 1 413.30 m →
2 000 434 m²		 S 81.685144°
E150.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9190673828125 y=0.9171142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9190673828125 × 212)
    floor (0.9190673828125 × 4096)
    floor (3764.5)     		tx = 3764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9171142578125 × 212)
    floor (0.9171142578125 × 4096)
    floor (3756.5)     		ty = 3756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3764 / 3756 ti = "12/3764/3756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3764/3756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3764 ÷ 212
    3764 ÷ 4096     		x = 0.9189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3756 ÷ 212
    3756 ÷ 4096     		y = 0.9169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9189453125 × 2 - 1) × π
    0.837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63231103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9169921875 × 2 - 1) × π
    -0.833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62003918563379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63231103} λ = 2.63231103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62003918563379))-π/2
    2×atan(0.0728000100570082)-π/2
    2×0.0726718079772022-π/2
    0.145343615954404-1.57079632675     		φ = -1.42545271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63231103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42545271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.672424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3764 KachelY 3756 2.63231103 -1.42545271 150.820312 -81.672424
    Oben rechts KachelX + 1 3765 KachelY 3756 2.63384501 -1.42545271 150.908203 -81.672424
    Unten links KachelX 3764 KachelY + 1 3757 2.63231103 -1.42567471 150.820312 -81.685144
    Unten rechts KachelX + 1 3765 KachelY + 1 3757 2.63384501 -1.42567471 150.908203 -81.685144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42545271--1.42567471) × R
    0.000221999999999944 × 6371000     		dl = 1414.36199999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42545271--1.42567471) × R
    0.000221999999999944 × 6371000     		dr = 1414.36199999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63231103-2.63384501) × cos(-1.42545271) × R
    0.00153398000000005 × 0.144832432021451 × 6371000     		do = 1415.44541449445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63231103-2.63384501) × cos(-1.42567471) × R
    0.00153398000000005 × 0.144612769178465 × 6371000     		du = 1413.29865247782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42545271)-sin(-1.42567471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144832432021451-0.144612769178465)×R²
    abs(2.63384501-2.63231103)×0.000219662842986135×R²
    0.00153398000000005×0.000219662842986135×6371000²
    0.00153398000000005×0.000219662842986135×40589641000000     		ar = 2000434.06624105m²