Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37638 / 39155
↖ ↑ ↗
← S 33.077734°
E 26.751709°		 ← 511.85 m → S 33.077734°
E 26.757202°		 →
↑
511.78 m
↓
↑
511.78 m
↓
S 33.082337°
E 26.751709°		 ← 511.82 m →
261 950 m²		 S 33.082337°
E 26.757202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574317932128906 y=0.597465515136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574317932128906 × 216)
    floor (0.574317932128906 × 65536)
    floor (37638.5)     		tx = 37638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597465515136719 × 216)
    floor (0.597465515136719 × 65536)
    floor (39155.5)     		ty = 39155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37638 / 39155 ti = "16/37638/39155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37638/39155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37638 ÷ 216
    37638 ÷ 65536     		x = 0.574310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39155 ÷ 216
    39155 ÷ 65536     		y = 0.597457885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574310302734375 × 2 - 1) × π
    0.14862060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46690540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597457885742188 × 2 - 1) × π
    -0.194915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.612345955746597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46690540} λ = 0.46690540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612345955746597))-π/2
    2×atan(0.542077685980288)-π/2
    2×0.496740480078759-π/2
    0.993480960157517-1.57079632675     		φ = -0.57731537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46690540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.751709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57731537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.077734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37638 KachelY 39155 0.46690540 -0.57731537 26.751709 -33.077734
    Oben rechts KachelX + 1 37639 KachelY 39155 0.46700128 -0.57731537 26.757202 -33.077734
    Unten links KachelX 37638 KachelY + 1 39156 0.46690540 -0.57739570 26.751709 -33.082337
    Unten rechts KachelX + 1 37639 KachelY + 1 39156 0.46700128 -0.57739570 26.757202 -33.082337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57731537--0.57739570) × R
    8.03299999999618e-05 × 6371000     		dl = 511.782429999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57731537--0.57739570) × R
    8.03299999999618e-05 × 6371000     		dr = 511.782429999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46690540-0.46700128) × cos(-0.57731537) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.837930875358366 × 6371000     		do = 511.851315350314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46690540-0.46700128) × cos(-0.57739570) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.837887030438913 × 6371000     		du = 511.824532616376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57731537)-sin(-0.57739570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837930875358366-0.837887030438913)×R²
    abs(0.46700128-0.46690540)×4.38449194530843e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38449194530843e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38449194530843e-05×40589641000000     		ar = 261949.656643265m²