Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37637 / 39165
↖ ↑ ↗
← S 33.123751°
E 26.746216°		 ← 511.53 m → S 33.123751°
E 26.751709°		 →
↑
511.53 m
↓
↑
511.53 m
↓
S 33.128351°
E 26.746216°		 ← 511.50 m →
261 655 m²		 S 33.128351°
E 26.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574302673339844 y=0.597618103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574302673339844 × 216)
    floor (0.574302673339844 × 65536)
    floor (37637.5)     		tx = 37637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597618103027344 × 216)
    floor (0.597618103027344 × 65536)
    floor (39165.5)     		ty = 39165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37637 / 39165 ti = "16/37637/39165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37637/39165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37637 ÷ 216
    37637 ÷ 65536     		x = 0.574295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39165 ÷ 216
    39165 ÷ 65536     		y = 0.597610473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574295043945312 × 2 - 1) × π
    0.148590087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46680953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597610473632812 × 2 - 1) × π
    -0.195220947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.613304693738998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46680953} λ = 0.46680953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613304693738998))-π/2
    2×atan(0.541558224561395)-π/2
    2×0.496338907110465-π/2
    0.992677814220931-1.57079632675     		φ = -0.57811851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46680953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.746216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57811851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.123751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37637 KachelY 39165 0.46680953 -0.57811851 26.746216 -33.123751
    Oben rechts KachelX + 1 37638 KachelY 39165 0.46690540 -0.57811851 26.751709 -33.123751
    Unten links KachelX 37637 KachelY + 1 39166 0.46680953 -0.57819880 26.746216 -33.128351
    Unten rechts KachelX + 1 37638 KachelY + 1 39166 0.46690540 -0.57819880 26.751709 -33.128351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57811851--0.57819880) × R
    8.02899999999829e-05 × 6371000     		dl = 511.527589999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57811851--0.57819880) × R
    8.02899999999829e-05 × 6371000     		dr = 511.527589999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46680953-0.46690540) × cos(-0.57811851) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.837492270323285 × 6371000     		do = 511.530036183281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46680953-0.46690540) × cos(-0.57819880) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.837448393219904 × 6371000     		du = 511.503236585153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57811851)-sin(-0.57819880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837492270323285-0.837448393219904)×R²
    abs(0.46690540-0.46680953)×4.38771033813845e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.38771033813845e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.38771033813845e-05×40589641000000     		ar = 261654.872394915m²