Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37637 / 29858
↖ ↑ ↗
← N 15.781682°
E 26.746216°		 ← 587.76 m → N 15.781682°
E 26.751709°		 →
↑
587.79 m
↓
↑
587.79 m
↓
N 15.776396°
E 26.746216°		 ← 587.78 m →
345 485 m²		 N 15.776396°
E 26.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574302673339844 y=0.455604553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574302673339844 × 216)
    floor (0.574302673339844 × 65536)
    floor (37637.5)     		tx = 37637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455604553222656 × 216)
    floor (0.455604553222656 × 65536)
    floor (29858.5)     		ty = 29858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37637 / 29858 ti = "16/37637/29858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37637/29858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37637 ÷ 216
    37637 ÷ 65536     		x = 0.574295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29858 ÷ 216
    29858 ÷ 65536     		y = 0.455596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574295043945312 × 2 - 1) × π
    0.148590087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46680953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    0.08880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.278992755788727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46680953} λ = 0.46680953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.278992755788727))-π/2
    2×atan(1.32179776845256)-π/2
    2×0.923119316520047-π/2
    1.84623863304009-1.57079632675     		φ = 0.27544231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46680953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.746216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27544231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.781682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37637 KachelY 29858 0.46680953 0.27544231 26.746216 15.781682
    Oben rechts KachelX + 1 37638 KachelY 29858 0.46690540 0.27544231 26.751709 15.781682
    Unten links KachelX 37637 KachelY + 1 29859 0.46680953 0.27535005 26.746216 15.776396
    Unten rechts KachelX + 1 37638 KachelY + 1 29859 0.46690540 0.27535005 26.751709 15.776396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27544231-0.27535005) × R
    9.22600000000107e-05 × 6371000     		dl = 587.788460000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27544231-0.27535005) × R
    9.22600000000107e-05 × 6371000     		dr = 587.788460000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46680953-0.46690540) × cos(0.27544231) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.962304995562935 × 6371000     		do = 587.764122300072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46680953-0.46690540) × cos(0.27535005) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.962330083659511 × 6371000     		du = 587.779445802634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27544231)-sin(0.27535005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962304995562935-0.962330083659511)×R²
    abs(0.46690540-0.46680953)×2.5088096576531e-05×R²
    9.58700000000534e-05×2.5088096576531e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×2.5088096576531e-05×40589641000000     		ar = 345485.472024251m²