Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37632 / 19714
↖ ↑ ↗
← N 77.311314°
W 76.640625°		 ← 67.09 m → N 77.311314°
W 76.637878°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.310710°
W 76.640625°		 ← 67.09 m →
4 501 m²		 N 77.310710°
W 76.637878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287113189697266 y=0.150409698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287113189697266 × 217)
    floor (0.287113189697266 × 131072)
    floor (37632.5)     		tx = 37632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150409698486328 × 217)
    floor (0.150409698486328 × 131072)
    floor (19714.5)     		ty = 19714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37632 / 19714 ti = "17/37632/19714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37632/19714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37632 ÷ 217
    37632 ÷ 131072     		x = 0.287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19714 ÷ 217
    19714 ÷ 131072     		y = 0.150405883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287109375 × 2 - 1) × π
    -0.42578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33763125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150405883789062 × 2 - 1) × π
    0.699188232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19656461439021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33763125} λ = -1.33763125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19656461439021))-π/2
    2×atan(8.99406229303475)-π/2
    2×1.46006664733955-π/2
    2.92013329467909-1.57079632675     		φ = 1.34933697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33763125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34933697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.311314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37632 KachelY 19714 -1.33763125 1.34933697 -76.640625 77.311314
    Oben rechts KachelX + 1 37633 KachelY 19714 -1.33758331 1.34933697 -76.637878 77.311314
    Unten links KachelX 37632 KachelY + 1 19715 -1.33763125 1.34932644 -76.640625 77.310710
    Unten rechts KachelX + 1 37633 KachelY + 1 19715 -1.33758331 1.34932644 -76.637878 77.310710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34933697-1.34932644) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dl = 67.086629999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34933697-1.34932644) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dr = 67.086629999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33763125--1.33758331) × cos(1.34933697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219653572764952 × 6371000     		do = 67.0878550053354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33763125--1.33758331) × cos(1.34932644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219663845588434 × 6371000     		du = 67.0909925900491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34933697)-sin(1.34932644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219653572764952-0.219663845588434)×R²
    abs(-1.33758331--1.33763125)×1.02728234814553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02728234814553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02728234814553e-05×40589641000000     		ar = 4500.8033513194m²