Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37631 / 39153
↖ ↑ ↗
← S 33.068528°
E 26.713257°		 ← 511.85 m → S 33.068528°
E 26.718750°		 →
↑
511.85 m
↓
↑
511.85 m
↓
S 33.073131°
E 26.713257°		 ← 511.82 m →
261 982 m²		 S 33.073131°
E 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574211120605469 y=0.597434997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574211120605469 × 216)
    floor (0.574211120605469 × 65536)
    floor (37631.5)     		tx = 37631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597434997558594 × 216)
    floor (0.597434997558594 × 65536)
    floor (39153.5)     		ty = 39153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37631 / 39153 ti = "16/37631/39153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37631/39153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37631 ÷ 216
    37631 ÷ 65536     		x = 0.574203491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39153 ÷ 216
    39153 ÷ 65536     		y = 0.597427368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574203491210938 × 2 - 1) × π
    0.148406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46623429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597427368164062 × 2 - 1) × π
    -0.194854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.612154208148117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46623429} λ = 0.46623429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612154208148117))-π/2
    2×atan(0.542181638040725)-π/2
    2×0.49682081989887-π/2
    0.993641639797741-1.57079632675     		φ = -0.57715469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46623429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.713257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57715469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.068528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37631 KachelY 39153 0.46623429 -0.57715469 26.713257 -33.068528
    Oben rechts KachelX + 1 37632 KachelY 39153 0.46633016 -0.57715469 26.718750 -33.068528
    Unten links KachelX 37631 KachelY + 1 39154 0.46623429 -0.57723503 26.713257 -33.073131
    Unten rechts KachelX + 1 37632 KachelY + 1 39154 0.46633016 -0.57723503 26.718750 -33.073131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57715469--0.57723503) × R
    8.03400000000121e-05 × 6371000     		dl = 511.846140000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57715469--0.57723503) × R
    8.03400000000121e-05 × 6371000     		dr = 511.846140000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46623429-0.46633016) × cos(-0.57715469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838018559888549 × 6371000     		do = 511.851487412927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46623429-0.46633016) × cos(-0.57723503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837974720327818 × 6371000     		du = 511.82471074539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57715469)-sin(-0.57723503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838018559888549-0.837974720327818)×R²
    abs(0.46633016-0.46623429)×4.38395607311737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38395607311737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38395607311737e-05×40589641000000     		ar = 261982.355459532m²