Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37631 / 19713
↖ ↑ ↗
← N 77.311917°
W 76.643371°		 ← 67.07 m → N 77.311917°
W 76.640625°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.311314°
W 76.643371°		 ← 67.07 m →
4 500 m²		 N 77.311314°
W 76.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287105560302734 y=0.150402069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287105560302734 × 217)
    floor (0.287105560302734 × 131072)
    floor (37631.5)     		tx = 37631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150402069091797 × 217)
    floor (0.150402069091797 × 131072)
    floor (19713.5)     		ty = 19713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37631 / 19713 ti = "17/37631/19713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37631/19713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37631 ÷ 217
    37631 ÷ 131072     		x = 0.287101745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19713 ÷ 217
    19713 ÷ 131072     		y = 0.150398254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287101745605469 × 2 - 1) × π
    -0.425796508789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.33767918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150398254394531 × 2 - 1) × π
    0.699203491210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.19661255128983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33767918} λ = -1.33767918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19661255128983))-π/2
    2×atan(8.99449345083017)-π/2
    2×1.46007191197213-π/2
    2.92014382394425-1.57079632675     		φ = 1.34934750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33767918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.643371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34934750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.311917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37631 KachelY 19713 -1.33767918 1.34934750 -76.643371 77.311917
    Oben rechts KachelX + 1 37632 KachelY 19713 -1.33763125 1.34934750 -76.640625 77.311917
    Unten links KachelX 37631 KachelY + 1 19714 -1.33767918 1.34933697 -76.643371 77.311314
    Unten rechts KachelX + 1 37632 KachelY + 1 19714 -1.33763125 1.34933697 -76.640625 77.311314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34934750-1.34933697) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dl = 67.086629999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34934750-1.34933697) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dr = 67.086629999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33767918--1.33763125) × cos(1.34934750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219643299917115 × 6371000     		do = 67.0707239386302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33767918--1.33763125) × cos(1.34933697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219653572764952 × 6371000     		du = 67.0738608762996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34934750)-sin(1.34933697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219643299917115-0.219653572764952)×R²
    abs(-1.33763125--1.33767918)×1.02728478368619e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02728478368619e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02728478368619e-05×40589641000000     		ar = 4499.65406395225m²