Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37630 / 39151
↖ ↑ ↗
← S 33.059320°
E 26.707764°		 ← 511.96 m → S 33.059320°
E 26.713257°		 →
↑
511.91 m
↓
↑
511.91 m
↓
S 33.063924°
E 26.707764°		 ← 511.93 m →
262 070 m²		 S 33.063924°
E 26.713257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574195861816406 y=0.597404479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574195861816406 × 216)
    floor (0.574195861816406 × 65536)
    floor (37630.5)     		tx = 37630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597404479980469 × 216)
    floor (0.597404479980469 × 65536)
    floor (39151.5)     		ty = 39151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37630 / 39151 ti = "16/37630/39151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37630/39151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37630 ÷ 216
    37630 ÷ 65536     		x = 0.574188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39151 ÷ 216
    39151 ÷ 65536     		y = 0.597396850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574188232421875 × 2 - 1) × π
    0.14837646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46613841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597396850585938 × 2 - 1) × π
    -0.194793701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.611962460549637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46613841} λ = 0.46613841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611962460549637))-π/2
    2×atan(0.542285610035631)-π/2
    2×0.496901168125015-π/2
    0.99380233625003-1.57079632675     		φ = -0.57699399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46613841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.707764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57699399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.059320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37630 KachelY 39151 0.46613841 -0.57699399 26.707764 -33.059320
    Oben rechts KachelX + 1 37631 KachelY 39151 0.46623429 -0.57699399 26.713257 -33.059320
    Unten links KachelX 37630 KachelY + 1 39152 0.46613841 -0.57707434 26.707764 -33.063924
    Unten rechts KachelX + 1 37631 KachelY + 1 39152 0.46623429 -0.57707434 26.713257 -33.063924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57699399--0.57707434) × R
    8.03500000000623e-05 × 6371000     		dl = 511.909850000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57699399--0.57707434) × R
    8.03500000000623e-05 × 6371000     		dr = 511.909850000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46613841-0.46623429) × cos(-0.57699399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.838106233692858 × 6371000     		do = 511.958433248469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46613841-0.46623429) × cos(-0.57707434) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.83806239949602 × 6371000     		du = 511.931657064456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57699399)-sin(-0.57707434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838106233692858-0.83806239949602)×R²
    abs(0.46623429-0.46613841)×4.38341968377332e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38341968377332e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38341968377332e-05×40589641000000     		ar = 262069.711415442m²