Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3763 / 2542
↖ ↑ ↗
← N 56.218923°
W 14.633789°		 ← 2 716.99 m → N 56.218923°
W 14.589844°		 →
↑
2 717.87 m
↓
↑
2 717.87 m
↓
N 56.194481°
W 14.633789°		 ← 2 718.73 m →
7 386 786 m²		 N 56.194481°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45941162109375 y=0.31036376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45941162109375 × 213)
    floor (0.45941162109375 × 8192)
    floor (3763.5)     		tx = 3763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31036376953125 × 213)
    floor (0.31036376953125 × 8192)
    floor (2542.5)     		ty = 2542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3763 / 2542 ti = "13/3763/2542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3763/2542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3763 ÷ 213
    3763 ÷ 8192     		x = 0.4593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2542 ÷ 213
    2542 ÷ 8192     		y = 0.310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25540780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310302734375 × 2 - 1) × π
    0.37939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19190307215308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25540780} λ = -0.25540780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19190307215308))-π/2
    2×atan(3.29334271625561)-π/2
    2×1.27600081917635-π/2
    2.5520016383527-1.57079632675     		φ = 0.98120531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25540780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98120531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.218923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3763 KachelY 2542 -0.25540780 0.98120531 -14.633789 56.218923
    Oben rechts KachelX + 1 3764 KachelY 2542 -0.25464081 0.98120531 -14.589844 56.218923
    Unten links KachelX 3763 KachelY + 1 2543 -0.25540780 0.98077871 -14.633789 56.194481
    Unten rechts KachelX + 1 3764 KachelY + 1 2543 -0.25464081 0.98077871 -14.589844 56.194481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98120531-0.98077871) × R
    0.000426599999999944 × 6371000     		dl = 2717.86859999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98120531-0.98077871) × R
    0.000426599999999944 × 6371000     		dr = 2717.86859999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25540780--0.25464081) × cos(0.98120531) × R
    0.000766990000000023 × 0.556021135609577 × 6371000     		do = 2716.99354825446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25540780--0.25464081) × cos(0.98077871) × R
    0.000766990000000023 × 0.556375661337964 × 6371000     		du = 2718.72593584736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98120531)-sin(0.98077871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556021135609577-0.556375661337964)×R²
    abs(-0.25464081--0.25540780)×0.000354525728387456×R²
    0.000766990000000023×0.000354525728387456×6371000²
    0.000766990000000023×0.000354525728387456×40589641000000     		ar = 7386785.76414973m²