Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37629 / 27847
↖ ↑ ↗
← N 26.081454°
E 26.702271°		 ← 548.59 m → N 26.081454°
E 26.707764°		 →
↑
548.61 m
↓
↑
548.61 m
↓
N 26.076520°
E 26.702271°		 ← 548.61 m →
300 967 m²		 N 26.076520°
E 26.707764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574180603027344 y=0.424919128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574180603027344 × 216)
    floor (0.574180603027344 × 65536)
    floor (37629.5)     		tx = 37629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424919128417969 × 216)
    floor (0.424919128417969 × 65536)
    floor (27847.5)     		ty = 27847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37629 / 27847 ti = "16/37629/27847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37629/27847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37629 ÷ 216
    37629 ÷ 65536     		x = 0.574172973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27847 ÷ 216
    27847 ÷ 65536     		y = 0.424911499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574172973632812 × 2 - 1) × π
    0.148345947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46604254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424911499023438 × 2 - 1) × π
    0.150177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.471794966060593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46604254} λ = 0.46604254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471794966060593))-π/2
    2×atan(1.60286870754738)-π/2
    2×1.01300179039722-π/2
    2.02600358079444-1.57079632675     		φ = 0.45520725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46604254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.702271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45520725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.081454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37629 KachelY 27847 0.46604254 0.45520725 26.702271 26.081454
    Oben rechts KachelX + 1 37630 KachelY 27847 0.46613841 0.45520725 26.707764 26.081454
    Unten links KachelX 37629 KachelY + 1 27848 0.46604254 0.45512114 26.702271 26.076520
    Unten rechts KachelX + 1 37630 KachelY + 1 27848 0.46613841 0.45512114 26.707764 26.076520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45520725-0.45512114) × R
    8.61100000000281e-05 × 6371000     		dl = 548.606810000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45520725-0.45512114) × R
    8.61100000000281e-05 × 6371000     		dr = 548.606810000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46604254-0.46613841) × cos(0.45520725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89816993032337 × 6371000     		do = 548.591208823255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46604254-0.46613841) × cos(0.45512114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898207785123052 × 6371000     		du = 548.614330071936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45520725)-sin(0.45512114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89816993032337-0.898207785123052)×R²
    abs(0.46613841-0.46604254)×3.7854799681214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7854799681214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7854799681214e-05×40589641000000     		ar = 300967.215489758m²