Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37628 / 27884
↖ ↑ ↗
← N 25.898762°
E 26.696777°		 ← 549.50 m → N 25.898762°
E 26.702271°		 →
↑
549.50 m
↓
↑
549.50 m
↓
N 25.893820°
E 26.696777°		 ← 549.52 m →
301 957 m²		 N 25.893820°
E 26.702271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574165344238281 y=0.425483703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574165344238281 × 216)
    floor (0.574165344238281 × 65536)
    floor (37628.5)     		tx = 37628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425483703613281 × 216)
    floor (0.425483703613281 × 65536)
    floor (27884.5)     		ty = 27884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37628 / 27884 ti = "16/37628/27884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37628/27884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37628 ÷ 216
    37628 ÷ 65536     		x = 0.57415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27884 ÷ 216
    27884 ÷ 65536     		y = 0.42547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57415771484375 × 2 - 1) × π
    0.1483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46594666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42547607421875 × 2 - 1) × π
    0.1490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.468247635488709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46594666} λ = 0.46594666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468247635488709))-π/2
    2×atan(1.59719287535675)-π/2
    2×1.01140749738307-π/2
    2.02281499476613-1.57079632675     		φ = 0.45201867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46594666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.696777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45201867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.898762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37628 KachelY 27884 0.46594666 0.45201867 26.696777 25.898762
    Oben rechts KachelX + 1 37629 KachelY 27884 0.46604254 0.45201867 26.702271 25.898762
    Unten links KachelX 37628 KachelY + 1 27885 0.46594666 0.45193242 26.696777 25.893820
    Unten rechts KachelX + 1 37629 KachelY + 1 27885 0.46604254 0.45193242 26.702271 25.893820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45201867-0.45193242) × R
    8.62500000000099e-05 × 6371000     		dl = 549.498750000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45201867-0.45193242) × R
    8.62500000000099e-05 × 6371000     		dr = 549.498750000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46594666-0.46604254) × cos(0.45201867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89956721640107 × 6371000     		do = 549.501965498032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46594666-0.46604254) × cos(0.45193242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89960488553293 × 6371000     		du = 549.524975742979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45201867)-sin(0.45193242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89956721640107-0.89960488553293)×R²
    abs(0.46604254-0.46594666)×3.76691318604294e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.76691318604294e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.76691318604294e-05×40589641000000     		ar = 301956.965401361m²