Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37627 / 27914
↖ ↑ ↗
← N 25.750425°
E 26.691284°		 ← 550.13 m → N 25.750425°
E 26.696777°		 →
↑
550.20 m
↓
↑
550.20 m
↓
N 25.745477°
E 26.691284°		 ← 550.16 m →
302 690 m²		 N 25.745477°
E 26.696777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574150085449219 y=0.425941467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574150085449219 × 216)
    floor (0.574150085449219 × 65536)
    floor (37627.5)     		tx = 37627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425941467285156 × 216)
    floor (0.425941467285156 × 65536)
    floor (27914.5)     		ty = 27914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37627 / 27914 ti = "16/37627/27914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37627/27914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37627 ÷ 216
    37627 ÷ 65536     		x = 0.574142456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27914 ÷ 216
    27914 ÷ 65536     		y = 0.425933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574142456054688 × 2 - 1) × π
    0.148284912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46585079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425933837890625 × 2 - 1) × π
    0.14813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.465371421511505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46585079} λ = 0.46585079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465371421511505))-π/2
    2×atan(1.59260560702939)-π/2
    2×1.01011301197843-π/2
    2.02022602395686-1.57079632675     		φ = 0.44942970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46585079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.691284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44942970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.750425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37627 KachelY 27914 0.46585079 0.44942970 26.691284 25.750425
    Oben rechts KachelX + 1 37628 KachelY 27914 0.46594666 0.44942970 26.696777 25.750425
    Unten links KachelX 37627 KachelY + 1 27915 0.46585079 0.44934334 26.691284 25.745477
    Unten rechts KachelX + 1 37628 KachelY + 1 27915 0.46594666 0.44934334 26.696777 25.745477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44942970-0.44934334) × R
    8.63600000000075e-05 × 6371000     		dl = 550.199560000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44942970-0.44934334) × R
    8.63600000000075e-05 × 6371000     		dr = 550.199560000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46585079-0.46594666) × cos(0.44942970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900695016751689 × 6371000     		do = 550.133500731865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46585079-0.46594666) × cos(0.44934334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900732532662331 × 6371000     		du = 550.156414991265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44942970)-sin(0.44934334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900695016751689-0.900732532662331)×R²
    abs(0.46594666-0.46585079)×3.75159106413836e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75159106413836e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75159106413836e-05×40589641000000     		ar = 302689.513939699m²