Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37626 / 39156
↖ ↑ ↗
← S 33.082337°
E 26.685791°		 ← 511.77 m → S 33.082337°
E 26.691284°		 →
↑
511.78 m
↓
↑
511.78 m
↓
S 33.086939°
E 26.685791°		 ← 511.74 m →
261 909 m²		 S 33.086939°
E 26.691284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574134826660156 y=0.597480773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574134826660156 × 216)
    floor (0.574134826660156 × 65536)
    floor (37626.5)     		tx = 37626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597480773925781 × 216)
    floor (0.597480773925781 × 65536)
    floor (39156.5)     		ty = 39156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37626 / 39156 ti = "16/37626/39156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37626/39156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37626 ÷ 216
    37626 ÷ 65536     		x = 0.574127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39156 ÷ 216
    39156 ÷ 65536     		y = 0.59747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574127197265625 × 2 - 1) × π
    0.14825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46575492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.1949462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.612441829545837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46575492} λ = 0.46575492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612441829545837))-π/2
    2×atan(0.542025717424302)-π/2
    2×0.496700313321338-π/2
    0.993400626642677-1.57079632675     		φ = -0.57739570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46575492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57739570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.082337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37626 KachelY 39156 0.46575492 -0.57739570 26.685791 -33.082337
    Oben rechts KachelX + 1 37627 KachelY 39156 0.46585079 -0.57739570 26.691284 -33.082337
    Unten links KachelX 37626 KachelY + 1 39157 0.46575492 -0.57747603 26.685791 -33.086939
    Unten rechts KachelX + 1 37627 KachelY + 1 39157 0.46585079 -0.57747603 26.691284 -33.086939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57739570--0.57747603) × R
    8.03300000000728e-05 × 6371000     		dl = 511.782430000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57739570--0.57747603) × R
    8.03300000000728e-05 × 6371000     		dr = 511.782430000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46575492-0.46585079) × cos(-0.57739570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837887030438913 × 6371000     		do = 511.771150833694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46575492-0.46585079) × cos(-0.57747603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.837843180112651 × 6371000     		du = 511.744367590703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57739570)-sin(-0.57747603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837887030438913-0.837843180112651)×R²
    abs(0.46585079-0.46575492)×4.38503262618628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38503262618628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38503262618628e-05×40589641000000     		ar = 261908.629722169m²