Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37626 / 28186
↖ ↑ ↗
← N 24.397133°
E 26.685791°		 ← 556.25 m → N 24.397133°
E 26.691284°		 →
↑
556.32 m
↓
↑
556.32 m
↓
N 24.392130°
E 26.685791°		 ← 556.27 m →
309 455 m²		 N 24.392130°
E 26.691284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574134826660156 y=0.430091857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574134826660156 × 216)
    floor (0.574134826660156 × 65536)
    floor (37626.5)     		tx = 37626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430091857910156 × 216)
    floor (0.430091857910156 × 65536)
    floor (28186.5)     		ty = 28186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37626 / 28186 ti = "16/37626/28186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37626/28186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37626 ÷ 216
    37626 ÷ 65536     		x = 0.574127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28186 ÷ 216
    28186 ÷ 65536     		y = 0.430084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574127197265625 × 2 - 1) × π
    0.14825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46575492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430084228515625 × 2 - 1) × π
    0.13983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.439293748118195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46575492} λ = 0.46575492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439293748118195))-π/2
    2×atan(1.55161100326398)-π/2
    2×0.998303312991977-π/2
    1.99660662598395-1.57079632675     		φ = 0.42581030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46575492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42581030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.397133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37626 KachelY 28186 0.46575492 0.42581030 26.685791 24.397133
    Oben rechts KachelX + 1 37627 KachelY 28186 0.46585079 0.42581030 26.691284 24.397133
    Unten links KachelX 37626 KachelY + 1 28187 0.46575492 0.42572298 26.685791 24.392130
    Unten rechts KachelX + 1 37627 KachelY + 1 28187 0.46585079 0.42572298 26.691284 24.392130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42581030-0.42572298) × R
    8.73200000000018e-05 × 6371000     		dl = 556.315720000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42581030-0.42572298) × R
    8.73200000000018e-05 × 6371000     		dr = 556.315720000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46575492-0.46585079) × cos(0.42581030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910704330373485 × 6371000     		do = 556.247067078152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46575492-0.46585079) × cos(0.42572298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910740395201219 × 6371000     		du = 556.269095033859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42581030)-sin(0.42572298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910704330373485-0.910740395201219)×R²
    abs(0.46585079-0.46575492)×3.60648277343278e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60648277343278e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60648277343278e-05×40589641000000     		ar = 309455.115065055m²