Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37624 / 28183
↖ ↑ ↗
← N 24.412140°
E 26.674805°		 ← 556.18 m → N 24.412140°
E 26.680298°		 →
↑
556.19 m
↓
↑
556.19 m
↓
N 24.407138°
E 26.674805°		 ← 556.20 m →
309 347 m²		 N 24.407138°
E 26.680298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574104309082031 y=0.430046081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574104309082031 × 216)
    floor (0.574104309082031 × 65536)
    floor (37624.5)     		tx = 37624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430046081542969 × 216)
    floor (0.430046081542969 × 65536)
    floor (28183.5)     		ty = 28183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37624 / 28183 ti = "16/37624/28183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37624/28183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37624 ÷ 216
    37624 ÷ 65536     		x = 0.5740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28183 ÷ 216
    28183 ÷ 65536     		y = 0.430038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5740966796875 × 2 - 1) × π
    0.148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46556317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430038452148438 × 2 - 1) × π
    0.139923095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.439581369515915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46556317} λ = 0.46556317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439581369515915))-π/2
    2×atan(1.55205734397494)-π/2
    2×0.998434274237183-π/2
    1.99686854847437-1.57079632675     		φ = 0.42607222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46556317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42607222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.412140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37624 KachelY 28183 0.46556317 0.42607222 26.674805 24.412140
    Oben rechts KachelX + 1 37625 KachelY 28183 0.46565904 0.42607222 26.680298 24.412140
    Unten links KachelX 37624 KachelY + 1 28184 0.46556317 0.42598492 26.674805 24.407138
    Unten rechts KachelX + 1 37625 KachelY + 1 28184 0.46565904 0.42598492 26.680298 24.407138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42607222-0.42598492) × R
    8.73000000000124e-05 × 6371000     		dl = 556.188300000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42607222-0.42598492) × R
    8.73000000000124e-05 × 6371000     		dr = 556.188300000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46556317-0.46565904) × cos(0.42607222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910596110759744 × 6371000     		do = 556.180967861605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46556317-0.46565904) × cos(0.42598492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910632188150882 × 6371000     		du = 556.203003490886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42607222)-sin(0.42598492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910596110759744-0.910632188150882)×R²
    abs(0.46565904-0.46556317)×3.60773911380896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60773911380896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60773911380896e-05×40589641000000     		ar = 309347.475183357m²