Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37624 / 27864
↖ ↑ ↗
← N 25.997550°
E 26.674805°		 ← 548.98 m → N 25.997550°
E 26.680298°		 →
↑
548.99 m
↓
↑
548.99 m
↓
N 25.992613°
E 26.674805°		 ← 549.01 m →
301 392 m²		 N 25.992613°
E 26.680298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574104309082031 y=0.425178527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574104309082031 × 216)
    floor (0.574104309082031 × 65536)
    floor (37624.5)     		tx = 37624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425178527832031 × 216)
    floor (0.425178527832031 × 65536)
    floor (27864.5)     		ty = 27864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37624 / 27864 ti = "16/37624/27864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37624/27864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37624 ÷ 216
    37624 ÷ 65536     		x = 0.5740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27864 ÷ 216
    27864 ÷ 65536     		y = 0.4251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5740966796875 × 2 - 1) × π
    0.148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46556317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4251708984375 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.470165111473511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46556317} λ = 0.46556317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470165111473511))-π/2
    2×atan(1.60025839242677)-π/2
    2×1.01226958516547-π/2
    2.02453917033094-1.57079632675     		φ = 0.45374284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46556317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45374284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.997550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37624 KachelY 27864 0.46556317 0.45374284 26.674805 25.997550
    Oben rechts KachelX + 1 37625 KachelY 27864 0.46565904 0.45374284 26.680298 25.997550
    Unten links KachelX 37624 KachelY + 1 27865 0.46556317 0.45365667 26.674805 25.992613
    Unten rechts KachelX + 1 37625 KachelY + 1 27865 0.46565904 0.45365667 26.680298 25.992613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45374284-0.45365667) × R
    8.61699999999965e-05 × 6371000     		dl = 548.989069999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45374284-0.45365667) × R
    8.61699999999965e-05 × 6371000     		dr = 548.989069999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46556317-0.46565904) × cos(0.45374284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898812792646663 × 6371000     		do = 548.983861268116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46556317-0.46565904) × cos(0.45365667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898850560439187 × 6371000     		du = 549.006929373889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45374284)-sin(0.45365667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898812792646663-0.898850560439187)×R²
    abs(0.46565904-0.46556317)×3.77677925239572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77677925239572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77677925239572e-05×40589641000000     		ar = 301392.47169803m²