Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37621 / 30035
↖ ↑ ↗
← N 14.843921°
E 26.658325°		 ← 590.40 m → N 14.843921°
E 26.663818°		 →
↑
590.40 m
↓
↑
590.40 m
↓
N 14.838612°
E 26.658325°		 ← 590.42 m →
348 579 m²		 N 14.838612°
E 26.663818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574058532714844 y=0.458305358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574058532714844 × 216)
    floor (0.574058532714844 × 65536)
    floor (37621.5)     		tx = 37621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458305358886719 × 216)
    floor (0.458305358886719 × 65536)
    floor (30035.5)     		ty = 30035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37621 / 30035 ti = "16/37621/30035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37621/30035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37621 ÷ 216
    37621 ÷ 65536     		x = 0.574050903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30035 ÷ 216
    30035 ÷ 65536     		y = 0.458297729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574050903320312 × 2 - 1) × π
    0.148101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46527555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458297729492188 × 2 - 1) × π
    0.083404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.262023093323227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46527555} λ = 0.46527555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262023093323227))-π/2
    2×atan(1.29955655316239)-π/2
    2×0.914935815093544-π/2
    1.82987163018709-1.57079632675     		φ = 0.25907530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46527555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.658325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25907530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.843921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37621 KachelY 30035 0.46527555 0.25907530 26.658325 14.843921
    Oben rechts KachelX + 1 37622 KachelY 30035 0.46537142 0.25907530 26.663818 14.843921
    Unten links KachelX 37621 KachelY + 1 30036 0.46527555 0.25898263 26.658325 14.838612
    Unten rechts KachelX + 1 37622 KachelY + 1 30036 0.46537142 0.25898263 26.663818 14.838612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25907530-0.25898263) × R
    9.26700000000169e-05 × 6371000     		dl = 590.400570000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25907530-0.25898263) × R
    9.26700000000169e-05 × 6371000     		dr = 590.400570000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46527555-0.46537142) × cos(0.25907530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966627287321416 × 6371000     		do = 590.404125244184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46527555-0.46537142) × cos(0.25898263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966651024003545 × 6371000     		du = 590.418623319329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25907530)-sin(0.25898263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966627287321416-0.966651024003545)×R²
    abs(0.46537142-0.46527555)×2.37366821289609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.37366821289609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.37366821289609e-05×40589641000000     		ar = 348579.212159914m²