Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37620 / 39172
↖ ↑ ↗
← S 33.155948°
E 26.652832°		 ← 511.40 m → S 33.155948°
E 26.658325°		 →
↑
511.40 m
↓
↑
511.40 m
↓
S 33.160547°
E 26.652832°		 ← 511.37 m →
261 521 m²		 S 33.160547°
E 26.658325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574043273925781 y=0.597724914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574043273925781 × 216)
    floor (0.574043273925781 × 65536)
    floor (37620.5)     		tx = 37620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597724914550781 × 216)
    floor (0.597724914550781 × 65536)
    floor (39172.5)     		ty = 39172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37620 / 39172 ti = "16/37620/39172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37620/39172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37620 ÷ 216
    37620 ÷ 65536     		x = 0.57403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39172 ÷ 216
    39172 ÷ 65536     		y = 0.59771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1954345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.613975810333679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46517967} λ = 0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613975810333679))-π/2
    2×atan(0.541194897780859)-π/2
    2×0.496057931169922-π/2
    0.992115862339845-1.57079632675     		φ = -0.57868046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57868046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.155948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37620 KachelY 39172 0.46517967 -0.57868046 26.652832 -33.155948
    Oben rechts KachelX + 1 37621 KachelY 39172 0.46527555 -0.57868046 26.658325 -33.155948
    Unten links KachelX 37620 KachelY + 1 39173 0.46517967 -0.57876073 26.652832 -33.160547
    Unten rechts KachelX + 1 37621 KachelY + 1 39173 0.46527555 -0.57876073 26.658325 -33.160547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57868046--0.57876073) × R
    8.02699999999934e-05 × 6371000     		dl = 511.400169999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57868046--0.57876073) × R
    8.02699999999934e-05 × 6371000     		dr = 511.400169999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46517967-0.46527555) × cos(-0.57868046) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.837185060992545 × 6371000     		do = 511.395733541147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46517967-0.46527555) × cos(-0.57876073) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.837141157050037 × 6371000     		du = 511.368914752888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57868046)-sin(-0.57876073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837185060992545-0.837141157050037)×R²
    abs(0.46527555-0.46517967)×4.39039425080834e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39039425080834e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39039425080834e-05×40589641000000     		ar = 261521.007644458m²