Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37620 / 27892
↖ ↑ ↗
← N 25.859223°
E 26.652832°		 ← 549.69 m → N 25.859223°
E 26.658325°		 →
↑
549.63 m
↓
↑
549.63 m
↓
N 25.854280°
E 26.652832°		 ← 549.71 m →
302 128 m²		 N 25.854280°
E 26.658325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574043273925781 y=0.425605773925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574043273925781 × 216)
    floor (0.574043273925781 × 65536)
    floor (37620.5)     		tx = 37620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425605773925781 × 216)
    floor (0.425605773925781 × 65536)
    floor (27892.5)     		ty = 27892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37620 / 27892 ti = "16/37620/27892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37620/27892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37620 ÷ 216
    37620 ÷ 65536     		x = 0.57403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27892 ÷ 216
    27892 ÷ 65536     		y = 0.42559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42559814453125 × 2 - 1) × π
    0.1488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.467480645094788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46517967} λ = 0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467480645094788))-π/2
    2×atan(1.59596831343776)-π/2
    2×1.01106245991137-π/2
    2.02212491982273-1.57079632675     		φ = 0.45132859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45132859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.859223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37620 KachelY 27892 0.46517967 0.45132859 26.652832 25.859223
    Oben rechts KachelX + 1 37621 KachelY 27892 0.46527555 0.45132859 26.658325 25.859223
    Unten links KachelX 37620 KachelY + 1 27893 0.46517967 0.45124232 26.652832 25.854280
    Unten rechts KachelX + 1 37621 KachelY + 1 27893 0.46527555 0.45124232 26.658325 25.854280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45132859-0.45124232) × R
    8.62699999999994e-05 × 6371000     		dl = 549.626169999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45132859-0.45124232) × R
    8.62699999999994e-05 × 6371000     		dr = 549.626169999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46517967-0.46527555) × cos(0.45132859) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.899868416951114 × 6371000     		do = 549.685954299803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46517967-0.46527555) × cos(0.45124232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.899906041252864 × 6371000     		du = 549.708937160211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45132859)-sin(0.45124232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899868416951114-0.899906041252864)×R²
    abs(0.46527555-0.46517967)×3.76243017504718e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.76243017504718e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.76243017504718e-05×40589641000000     		ar = 302128.101942757m²