Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3762 / 4923
↖ ↑ ↗
← S 34.125448°
W 14.677734°		 ← 4 045.09 m → S 34.125448°
W 14.633789°		 →
↑
4 044.25 m
↓
↑
4 044.25 m
↓
S 34.161818°
W 14.677734°		 ← 4 043.35 m →
16 355 840 m²		 S 34.161818°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45928955078125 y=0.60101318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45928955078125 × 213)
    floor (0.45928955078125 × 8192)
    floor (3762.5)     		tx = 3762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60101318359375 × 213)
    floor (0.60101318359375 × 8192)
    floor (4923.5)     		ty = 4923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3762 / 4923 ti = "13/3762/4923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3762/4923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3762 ÷ 213
    3762 ÷ 8192     		x = 0.459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4923 ÷ 213
    4923 ÷ 8192     		y = 0.6009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6009521484375 × 2 - 1) × π
    -0.201904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.634301055772583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25617479} λ = -0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634301055772583))-π/2
    2×atan(0.530306013141041)-π/2
    2×0.487597454040973-π/2
    0.975194908081946-1.57079632675     		φ = -0.59560142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59560142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.125448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3762 KachelY 4923 -0.25617479 -0.59560142 -14.677734 -34.125448
    Oben rechts KachelX + 1 3763 KachelY 4923 -0.25540780 -0.59560142 -14.633789 -34.125448
    Unten links KachelX 3762 KachelY + 1 4924 -0.25617479 -0.59623621 -14.677734 -34.161818
    Unten rechts KachelX + 1 3763 KachelY + 1 4924 -0.25540780 -0.59623621 -14.633789 -34.161818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59560142--0.59623621) × R
    0.000634789999999996 × 6371000     		dl = 4044.24708999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59560142--0.59623621) × R
    0.000634789999999996 × 6371000     		dr = 4044.24708999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25617479--0.25540780) × cos(-0.59560142) × R
    0.000766989999999967 × 0.827811247911639 × 6371000     		do = 4045.09410830658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25617479--0.25540780) × cos(-0.59623621) × R
    0.000766989999999967 × 0.82745495969421 × 6371000     		du = 4043.3531083228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59560142)-sin(-0.59623621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827811247911639-0.82745495969421)×R²
    abs(-0.25540780--0.25617479)×0.000356288217428835×R²
    0.000766989999999967×0.000356288217428835×6371000²
    0.000766989999999967×0.000356288217428835×40589641000000     		ar = 16355840.1084615m²