Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3762 / 1896
↖ ↑ ↗
← N 69.037142°
W 14.677734°		 ← 1 748.20 m → N 69.037142°
W 14.633789°		 →
↑
1 748.84 m
↓
↑
1 748.84 m
↓
N 69.021414°
W 14.677734°		 ← 1 749.46 m →
3 058 425 m²		 N 69.021414°
W 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45928955078125 y=0.23150634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45928955078125 × 213)
    floor (0.45928955078125 × 8192)
    floor (3762.5)     		tx = 3762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23150634765625 × 213)
    floor (0.23150634765625 × 8192)
    floor (1896.5)     		ty = 1896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3762 / 1896 ti = "13/3762/1896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3762/1896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3762 ÷ 213
    3762 ÷ 8192     		x = 0.459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1896 ÷ 213
    1896 ÷ 8192     		y = 0.2314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2314453125 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25617479} λ = -0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68737886662598))-π/2
    2×atan(5.40529412396801)-π/2
    2×1.38786087791554-π/2
    2.77572175583108-1.57079632675     		φ = 1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3762 KachelY 1896 -0.25617479 1.20492543 -14.677734 69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 3763 KachelY 1896 -0.25540780 1.20492543 -14.633789 69.037142
    Unten links KachelX 3762 KachelY + 1 1897 -0.25617479 1.20465093 -14.677734 69.021414
    Unten rechts KachelX + 1 3763 KachelY + 1 1897 -0.25540780 1.20465093 -14.633789 69.021414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20492543-1.20465093) × R
    0.000274500000000177 × 6371000     		dl = 1748.83950000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20492543-1.20465093) × R
    0.000274500000000177 × 6371000     		dr = 1748.83950000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25617479--0.25540780) × cos(1.20492543) × R
    0.000766989999999967 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 1748.20495672127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25617479--0.25540780) × cos(1.20465093) × R
    0.000766989999999967 × 0.358019002458138 × 6371000     		du = 1749.45745320411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20492543)-sin(1.20465093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.358019002458138)×R²
    abs(-0.25540780--0.25617479)×0.000256318060520566×R²
    0.000766989999999967×0.000256318060520566×6371000²
    0.000766989999999967×0.000256318060520566×40589641000000     		ar = 3058425.10927643m²