Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37616 / 39152
↖ ↑ ↗
← S 33.063924°
E 26.630859°		 ← 511.88 m → S 33.063924°
E 26.636352°		 →
↑
511.91 m
↓
↑
511.91 m
↓
S 33.068528°
E 26.630859°		 ← 511.85 m →
262 029 m²		 S 33.068528°
E 26.636352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573982238769531 y=0.597419738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573982238769531 × 216)
    floor (0.573982238769531 × 65536)
    floor (37616.5)     		tx = 37616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597419738769531 × 216)
    floor (0.597419738769531 × 65536)
    floor (39152.5)     		ty = 39152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37616 / 39152 ti = "16/37616/39152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37616/39152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37616 ÷ 216
    37616 ÷ 65536     		x = 0.573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39152 ÷ 216
    39152 ÷ 65536     		y = 0.597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573974609375 × 2 - 1) × π
    0.14794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46479618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.19482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.612058334348877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46479618} λ = 0.46479618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612058334348877))-π/2
    2×atan(0.542233621546131)-π/2
    2×0.496860992961263-π/2
    0.993721985922527-1.57079632675     		φ = -0.57707434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46479618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.630859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57707434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.063924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37616 KachelY 39152 0.46479618 -0.57707434 26.630859 -33.063924
    Oben rechts KachelX + 1 37617 KachelY 39152 0.46489205 -0.57707434 26.636352 -33.063924
    Unten links KachelX 37616 KachelY + 1 39153 0.46479618 -0.57715469 26.630859 -33.068528
    Unten rechts KachelX + 1 37617 KachelY + 1 39153 0.46489205 -0.57715469 26.636352 -33.068528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57707434--0.57715469) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dl = 511.90984999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57707434--0.57715469) × R
    8.03499999999513e-05 × 6371000     		dr = 511.90984999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46479618-0.46489205) × cos(-0.57707434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83806239949602 × 6371000     		do = 511.878264109012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46479618-0.46489205) × cos(-0.57715469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.838018559888549 × 6371000     		du = 511.851487412927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57707434)-sin(-0.57715469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83806239949602-0.838018559888549)×R²
    abs(0.46489205-0.46479618)×4.3839607471341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3839607471341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3839607471341e-05×40589641000000     		ar = 262028.671911641m²