Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37615 / 28819
↖ ↑ ↗
← N 21.192094°
E 26.625366°		 ← 569.54 m → N 21.192094°
E 26.630859°		 →
↑
569.50 m
↓
↑
569.50 m
↓
N 21.186973°
E 26.625366°		 ← 569.56 m →
324 362 m²		 N 21.186973°
E 26.630859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573966979980469 y=0.439750671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573966979980469 × 216)
    floor (0.573966979980469 × 65536)
    floor (37615.5)     		tx = 37615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439750671386719 × 216)
    floor (0.439750671386719 × 65536)
    floor (28819.5)     		ty = 28819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37615 / 28819 ti = "16/37615/28819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37615/28819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37615 ÷ 216
    37615 ÷ 65536     		x = 0.573959350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28819 ÷ 216
    28819 ÷ 65536     		y = 0.439743041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573959350585938 × 2 - 1) × π
    0.147918701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46470030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439743041992188 × 2 - 1) × π
    0.120513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.378605633199203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46470030} λ = 0.46470030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.378605633199203))-π/2
    2×atan(1.46024704921874)-π/2
    2×0.97033407546661-π/2
    1.94066815093322-1.57079632675     		φ = 0.36987182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46470030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.625366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36987182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.192094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37615 KachelY 28819 0.46470030 0.36987182 26.625366 21.192094
    Oben rechts KachelX + 1 37616 KachelY 28819 0.46479618 0.36987182 26.630859 21.192094
    Unten links KachelX 37615 KachelY + 1 28820 0.46470030 0.36978243 26.625366 21.186973
    Unten rechts KachelX + 1 37616 KachelY + 1 28820 0.46479618 0.36978243 26.630859 21.186973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36987182-0.36978243) × R
    8.93900000000225e-05 × 6371000     		dl = 569.503690000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36987182-0.36978243) × R
    8.93900000000225e-05 × 6371000     		dr = 569.503690000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46470030-0.46479618) × cos(0.36987182) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.932373689812855 × 6371000     		do = 569.5418483352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46470030-0.46479618) × cos(0.36978243) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.932406000208294 × 6371000     		du = 569.561585188073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36987182)-sin(0.36978243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932373689812855-0.932406000208294)×R²
    abs(0.46479618-0.46470030)×3.23103954390502e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.23103954390502e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.23103954390502e-05×40589641000000     		ar = 324361.804557741m²