Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37613 / 27903
↖ ↑ ↗
← N 25.804837°
E 26.614380°		 ← 549.88 m → N 25.804837°
E 26.619873°		 →
↑
549.88 m
↓
↑
549.88 m
↓
N 25.799891°
E 26.614380°		 ← 549.90 m →
302 376 m²		 N 25.799891°
E 26.619873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573936462402344 y=0.425773620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573936462402344 × 216)
    floor (0.573936462402344 × 65536)
    floor (37613.5)     		tx = 37613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425773620605469 × 216)
    floor (0.425773620605469 × 65536)
    floor (27903.5)     		ty = 27903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37613 / 27903 ti = "16/37613/27903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37613/27903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37613 ÷ 216
    37613 ÷ 65536     		x = 0.573928833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27903 ÷ 216
    27903 ÷ 65536     		y = 0.425765991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573928833007812 × 2 - 1) × π
    0.147857666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46450856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425765991210938 × 2 - 1) × π
    0.148468017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.466426033303146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46450856} λ = 0.46450856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466426033303146))-π/2
    2×atan(1.5942860736462)-π/2
    2×1.01058784491301-π/2
    2.02117568982602-1.57079632675     		φ = 0.45037936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46450856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.614380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45037936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.804837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37613 KachelY 27903 0.46450856 0.45037936 26.614380 25.804837
    Oben rechts KachelX + 1 37614 KachelY 27903 0.46460443 0.45037936 26.619873 25.804837
    Unten links KachelX 37613 KachelY + 1 27904 0.46450856 0.45029305 26.614380 25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 37614 KachelY + 1 27904 0.46460443 0.45029305 26.619873 25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45037936-0.45029305) × R
    8.63100000000339e-05 × 6371000     		dl = 549.881010000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45037936-0.45029305) × R
    8.63100000000339e-05 × 6371000     		dr = 549.881010000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46450856-0.46460443) × cos(0.45037936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900282029038139 × 6371000     		do = 549.881252887268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46450856-0.46460443) × cos(0.45029305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 549.904198963529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45037936)-sin(0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900282029038139-0.900319597040296)×R²
    abs(0.46460443-0.46450856)×3.75680021574842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75680021574842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75680021574842e-05×40589641000000     		ar = 302375.56771133m²