Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37612 / 27883
↖ ↑ ↗
← N 25.903703°
E 26.608887°		 ← 549.48 m → N 25.903703°
E 26.614380°		 →
↑
549.44 m
↓
↑
549.44 m
↓
N 25.898762°
E 26.608887°		 ← 549.50 m →
301 909 m²		 N 25.898762°
E 26.614380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573921203613281 y=0.425468444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573921203613281 × 216)
    floor (0.573921203613281 × 65536)
    floor (37612.5)     		tx = 37612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425468444824219 × 216)
    floor (0.425468444824219 × 65536)
    floor (27883.5)     		ty = 27883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37612 / 27883 ti = "16/37612/27883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37612/27883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37612 ÷ 216
    37612 ÷ 65536     		x = 0.57391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27883 ÷ 216
    27883 ÷ 65536     		y = 0.425460815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57391357421875 × 2 - 1) × π
    0.1478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46441268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425460815429688 × 2 - 1) × π
    0.149078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.468343509287949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46441268} λ = 0.46441268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468343509287949))-π/2
    2×atan(1.59734601164659)-π/2
    2×1.01145061894353-π/2
    2.02290123788705-1.57079632675     		φ = 0.45210491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46441268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.608887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45210491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.903703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37612 KachelY 27883 0.46441268 0.45210491 26.608887 25.903703
    Oben rechts KachelX + 1 37613 KachelY 27883 0.46450856 0.45210491 26.614380 25.903703
    Unten links KachelX 37612 KachelY + 1 27884 0.46441268 0.45201867 26.608887 25.898762
    Unten rechts KachelX + 1 37613 KachelY + 1 27884 0.46450856 0.45201867 26.614380 25.898762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45210491-0.45201867) × R
    8.62400000000152e-05 × 6371000     		dl = 549.435040000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45210491-0.45201867) × R
    8.62400000000152e-05 × 6371000     		dr = 549.435040000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46441268-0.46450856) × cos(0.45210491) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.899529544945872 × 6371000     		do = 549.47895383387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46441268-0.46450856) × cos(0.45201867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89956721640107 × 6371000     		du = 549.501965498032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45210491)-sin(0.45201867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899529544945872-0.89956721640107)×R²
    abs(0.46450856-0.46441268)×3.76714551979518e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.76714551979518e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.76714551979518e-05×40589641000000     		ar = 301909.312873293m²