Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37611 / 27941
↖ ↑ ↗
← N 25.616763°
E 26.603394°		 ← 550.75 m → N 25.616763°
E 26.608887°		 →
↑
550.84 m
↓
↑
550.84 m
↓
N 25.611809°
E 26.603394°		 ← 550.77 m →
303 380 m²		 N 25.611809°
E 26.608887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573905944824219 y=0.426353454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573905944824219 × 216)
    floor (0.573905944824219 × 65536)
    floor (37611.5)     		tx = 37611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426353454589844 × 216)
    floor (0.426353454589844 × 65536)
    floor (27941.5)     		ty = 27941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37611 / 27941 ti = "16/37611/27941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37611/27941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37611 ÷ 216
    37611 ÷ 65536     		x = 0.573898315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27941 ÷ 216
    27941 ÷ 65536     		y = 0.426345825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573898315429688 × 2 - 1) × π
    0.147796630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46431681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426345825195312 × 2 - 1) × π
    0.147308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.462782828932022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46431681} λ = 0.46431681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462782828932022))-π/2
    2×atan(1.58848833124685)-π/2
    2×1.00894659104888-π/2
    2.01789318209776-1.57079632675     		φ = 0.44709686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46431681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.603394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44709686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.616763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37611 KachelY 27941 0.46431681 0.44709686 26.603394 25.616763
    Oben rechts KachelX + 1 37612 KachelY 27941 0.46441268 0.44709686 26.608887 25.616763
    Unten links KachelX 37611 KachelY + 1 27942 0.46431681 0.44701040 26.603394 25.611809
    Unten rechts KachelX + 1 37612 KachelY + 1 27942 0.46441268 0.44701040 26.608887 25.611809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44709686-0.44701040) × R
    8.64600000000104e-05 × 6371000     		dl = 550.836660000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44709686-0.44701040) × R
    8.64600000000104e-05 × 6371000     		dr = 550.836660000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46431681-0.46441268) × cos(0.44709686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901706071838255 × 6371000     		do = 550.751040813535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46431681-0.46441268) × cos(0.44701040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901743449412688 × 6371000     		du = 550.773870578871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44709686)-sin(0.44701040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901706071838255-0.901743449412688)×R²
    abs(0.46441268-0.46431681)×3.73775744326732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73775744326732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73775744326732e-05×40589641000000     		ar = 303380.151738074m²