Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37611 / 27817
↖ ↑ ↗
← N 26.229375°
E 26.603394°		 ← 547.90 m → N 26.229375°
E 26.608887°		 →
↑
547.97 m
↓
↑
547.97 m
↓
N 26.224447°
E 26.603394°		 ← 547.92 m →
300 237 m²		 N 26.224447°
E 26.608887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573905944824219 y=0.424461364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573905944824219 × 216)
    floor (0.573905944824219 × 65536)
    floor (37611.5)     		tx = 37611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424461364746094 × 216)
    floor (0.424461364746094 × 65536)
    floor (27817.5)     		ty = 27817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37611 / 27817 ti = "16/37611/27817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37611/27817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37611 ÷ 216
    37611 ÷ 65536     		x = 0.573898315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27817 ÷ 216
    27817 ÷ 65536     		y = 0.424453735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573898315429688 × 2 - 1) × π
    0.147796630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46431681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424453735351562 × 2 - 1) × π
    0.151092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474671180037796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46431681} λ = 0.46431681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474671180037796))-π/2
    2×atan(1.60748553723993)-π/2
    2×1.01429263708841-π/2
    2.02858527417682-1.57079632675     		φ = 0.45778895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46431681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.603394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45778895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.229375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37611 KachelY 27817 0.46431681 0.45778895 26.603394 26.229375
    Oben rechts KachelX + 1 37612 KachelY 27817 0.46441268 0.45778895 26.608887 26.229375
    Unten links KachelX 37611 KachelY + 1 27818 0.46431681 0.45770294 26.603394 26.224447
    Unten rechts KachelX + 1 37612 KachelY + 1 27818 0.46441268 0.45770294 26.608887 26.224447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45778895-0.45770294) × R
    8.60099999999697e-05 × 6371000     		dl = 547.969709999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45778895-0.45770294) × R
    8.60099999999697e-05 × 6371000     		dr = 547.969709999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46431681-0.46441268) × cos(0.45778895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897031897903747 × 6371000     		do = 547.896112539486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46431681-0.46441268) × cos(0.45770294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897069908064725 × 6371000     		du = 547.919328680946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45778895)-sin(0.45770294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897031897903747-0.897069908064725)×R²
    abs(0.46441268-0.46431681)×3.80101609774863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80101609774863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80101609774863e-05×40589641000000     		ar = 300236.834954602m²