Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3761 / 2534
↖ ↑ ↗
← N 56.413901°
W 14.721680°		 ← 2 703.16 m → N 56.413901°
W 14.677734°		 →
↑
2 703.98 m
↓
↑
2 703.98 m
↓
N 56.389584°
W 14.721680°		 ← 2 704.88 m →
7 311 616 m²		 N 56.389584°
W 14.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45916748046875 y=0.30938720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45916748046875 × 213)
    floor (0.45916748046875 × 8192)
    floor (3761.5)     		tx = 3761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30938720703125 × 213)
    floor (0.30938720703125 × 8192)
    floor (2534.5)     		ty = 2534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3761 / 2534 ti = "13/3761/2534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3761/2534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3761 ÷ 213
    3761 ÷ 8192     		x = 0.4591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2534 ÷ 213
    2534 ÷ 8192     		y = 0.309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25694178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309326171875 × 2 - 1) × π
    0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25694178} λ = -0.25694178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19803899530444))-π/2
    2×atan(3.31361253751066)-π/2
    2×1.27770232484132-π/2
    2.55540464968263-1.57079632675     		φ = 0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25694178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.721680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3761 KachelY 2534 -0.25694178 0.98460832 -14.721680 56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 3762 KachelY 2534 -0.25617479 0.98460832 -14.677734 56.413901
    Unten links KachelX 3761 KachelY + 1 2535 -0.25694178 0.98418390 -14.721680 56.389584
    Unten rechts KachelX + 1 3762 KachelY + 1 2535 -0.25617479 0.98418390 -14.677734 56.389584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98460832-0.98418390) × R
    0.000424419999999981 × 6371000     		dl = 2703.97981999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98460832-0.98418390) × R
    0.000424419999999981 × 6371000     		dr = 2703.97981999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25694178--0.25617479) × cos(0.98460832) × R
    0.000766990000000023 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 2703.15652596693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25694178--0.25617479) × cos(0.98418390) × R
    0.000766990000000023 × 0.553542963617229 × 6371000     		du = 2704.88397744238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98460832)-sin(0.98418390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.553542963617229)×R²
    abs(-0.25617479--0.25694178)×0.000353515573015994×R²
    0.000766990000000023×0.000353515573015994×6371000²
    0.000766990000000023×0.000353515573015994×40589641000000     		ar = 7311616.30323528m²