Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3761 / 1901
↖ ↑ ↗
← N 68.958391°
W 14.721680°		 ← 1 754.48 m → N 68.958391°
W 14.677734°		 →
↑
1 755.15 m
↓
↑
1 755.15 m
↓
N 68.942607°
W 14.721680°		 ← 1 755.73 m →
3 080 464 m²		 N 68.942607°
W 14.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45916748046875 y=0.23211669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45916748046875 × 213)
    floor (0.45916748046875 × 8192)
    floor (3761.5)     		tx = 3761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23211669921875 × 213)
    floor (0.23211669921875 × 8192)
    floor (1901.5)     		ty = 1901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3761 / 1901 ti = "13/3761/1901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3761/1901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3761 ÷ 213
    3761 ÷ 8192     		x = 0.4591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1901 ÷ 213
    1901 ÷ 8192     		y = 0.2320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.081787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25694178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2320556640625 × 2 - 1) × π
    0.535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68354391465637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25694178} λ = -0.25694178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68354391465637))-π/2
    2×atan(5.38460477730264)-π/2
    2×1.3871736469781-π/2
    2.7743472939562-1.57079632675     		φ = 1.20355097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25694178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.721680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20355097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.958391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3761 KachelY 1901 -0.25694178 1.20355097 -14.721680 68.958391
    Oben rechts KachelX + 1 3762 KachelY 1901 -0.25617479 1.20355097 -14.677734 68.958391
    Unten links KachelX 3761 KachelY + 1 1902 -0.25694178 1.20327548 -14.721680 68.942607
    Unten rechts KachelX + 1 3762 KachelY + 1 1902 -0.25617479 1.20327548 -14.677734 68.942607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20355097-1.20327548) × R
    0.000275489999999934 × 6371000     		dl = 1755.14678999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20355097-1.20327548) × R
    0.000275489999999934 × 6371000     		dr = 1755.14678999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25694178--0.25617479) × cos(1.20355097) × R
    0.000766990000000023 × 0.359045834046651 × 6371000     		do = 1754.47505887147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25694178--0.25617479) × cos(1.20327548) × R
    0.000766990000000023 × 0.359302940725674 × 6371000     		du = 1755.73140893333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20355097)-sin(1.20327548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359045834046651-0.359302940725674)×R²
    abs(-0.25617479--0.25694178)×0.000257106679022456×R²
    0.000766990000000023×0.000257106679022456×6371000²
    0.000766990000000023×0.000257106679022456×40589641000000     		ar = 3080463.82658646m²