Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37609 / 27849
↖ ↑ ↗
← N 26.071586°
E 26.592407°		 ← 548.69 m → N 26.071586°
E 26.597901°		 →
↑
548.67 m
↓
↑
548.67 m
↓
N 26.066652°
E 26.592407°		 ← 548.72 m →
301 059 m²		 N 26.066652°
E 26.597901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573875427246094 y=0.424949645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573875427246094 × 216)
    floor (0.573875427246094 × 65536)
    floor (37609.5)     		tx = 37609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424949645996094 × 216)
    floor (0.424949645996094 × 65536)
    floor (27849.5)     		ty = 27849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37609 / 27849 ti = "16/37609/27849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37609/27849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37609 ÷ 216
    37609 ÷ 65536     		x = 0.573867797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27849 ÷ 216
    27849 ÷ 65536     		y = 0.424942016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573867797851562 × 2 - 1) × π
    0.147735595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46412506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424942016601562 × 2 - 1) × π
    0.150115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.471603218462112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46412506} λ = 0.46412506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471603218462112))-π/2
    2×atan(1.60256139078659)-π/2
    2×1.01291567580449-π/2
    2.02583135160897-1.57079632675     		φ = 0.45503502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46412506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.592407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45503502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.071586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37609 KachelY 27849 0.46412506 0.45503502 26.592407 26.071586
    Oben rechts KachelX + 1 37610 KachelY 27849 0.46422094 0.45503502 26.597901 26.071586
    Unten links KachelX 37609 KachelY + 1 27850 0.46412506 0.45494890 26.592407 26.066652
    Unten rechts KachelX + 1 37610 KachelY + 1 27850 0.46422094 0.45494890 26.597901 26.066652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45503502-0.45494890) × R
    8.61200000000228e-05 × 6371000     		dl = 548.670520000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45503502-0.45494890) × R
    8.61200000000228e-05 × 6371000     		dr = 548.670520000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46412506-0.46422094) × cos(0.45503502) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.898245637657521 × 6371000     		do = 548.694677166916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46412506-0.46422094) × cos(0.45494890) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.898283483530013 × 6371000     		du = 548.717795374139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45503502)-sin(0.45494890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898245637657521-0.898283483530013)×R²
    abs(0.46422094-0.46412506)×3.78458724917818e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.78458724917818e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.78458724917818e-05×40589641000000     		ar = 301058.936168074m²