Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37608 / 27816
↖ ↑ ↗
← N 26.234302°
E 26.586914°		 ← 547.87 m → N 26.234302°
E 26.592407°		 →
↑
547.91 m
↓
↑
547.91 m
↓
N 26.229375°
E 26.586914°		 ← 547.90 m →
300 189 m²		 N 26.229375°
E 26.592407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573860168457031 y=0.424446105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573860168457031 × 216)
    floor (0.573860168457031 × 65536)
    floor (37608.5)     		tx = 37608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424446105957031 × 216)
    floor (0.424446105957031 × 65536)
    floor (27816.5)     		ty = 27816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37608 / 27816 ti = "16/37608/27816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37608/27816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37608 ÷ 216
    37608 ÷ 65536     		x = 0.5738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27816 ÷ 216
    27816 ÷ 65536     		y = 0.4244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    0.151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474767053837036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46402919} λ = 0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474767053837036))-π/2
    2×atan(1.60763966037367)-π/2
    2×1.01433563710543-π/2
    2.02867127421086-1.57079632675     		φ = 0.45787495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45787495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.234302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37608 KachelY 27816 0.46402919 0.45787495 26.586914 26.234302
    Oben rechts KachelX + 1 37609 KachelY 27816 0.46412506 0.45787495 26.592407 26.234302
    Unten links KachelX 37608 KachelY + 1 27817 0.46402919 0.45778895 26.586914 26.229375
    Unten rechts KachelX + 1 37609 KachelY + 1 27817 0.46412506 0.45778895 26.592407 26.229375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45787495-0.45778895) × R
    8.60000000000305e-05 × 6371000     		dl = 547.906000000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45787495-0.45778895) × R
    8.60000000000305e-05 × 6371000     		dr = 547.906000000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46402919-0.46412506) × cos(0.45787495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896993885527208 × 6371000     		do = 547.872895044787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46402919-0.46412506) × cos(0.45778895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897031897903747 × 6371000     		du = 547.896112539486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45787495)-sin(0.45778895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896993885527208-0.897031897903747)×R²
    abs(0.46412506-0.46402919)×3.80123765388873e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80123765388873e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80123765388873e-05×40589641000000     		ar = 300189.207119756m²