Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37607 / 30025
↖ ↑ ↗
← N 14.897013°
E 26.581421°		 ← 590.32 m → N 14.897013°
E 26.586914°		 →
↑
590.27 m
↓
↑
590.27 m
↓
N 14.891705°
E 26.581421°		 ← 590.33 m →
348 455 m²		 N 14.891705°
E 26.586914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573844909667969 y=0.458152770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573844909667969 × 216)
    floor (0.573844909667969 × 65536)
    floor (37607.5)     		tx = 37607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458152770996094 × 216)
    floor (0.458152770996094 × 65536)
    floor (30025.5)     		ty = 30025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37607 / 30025 ti = "16/37607/30025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37607/30025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37607 ÷ 216
    37607 ÷ 65536     		x = 0.573837280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30025 ÷ 216
    30025 ÷ 65536     		y = 0.458145141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573837280273438 × 2 - 1) × π
    0.147674560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46393331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458145141601562 × 2 - 1) × π
    0.083709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.262981831315628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46393331} λ = 0.46393331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262981831315628))-π/2
    2×atan(1.30080308485635)-π/2
    2×0.915399129278207-π/2
    1.83079825855641-1.57079632675     		φ = 0.26000193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46393331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.581421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26000193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.897013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37607 KachelY 30025 0.46393331 0.26000193 26.581421 14.897013
    Oben rechts KachelX + 1 37608 KachelY 30025 0.46402919 0.26000193 26.586914 14.897013
    Unten links KachelX 37607 KachelY + 1 30026 0.46393331 0.25990928 26.581421 14.891705
    Unten rechts KachelX + 1 37608 KachelY + 1 30026 0.46402919 0.25990928 26.586914 14.891705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26000193-0.25990928) × R
    9.26499999999719e-05 × 6371000     		dl = 590.273149999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26000193-0.25990928) × R
    9.26499999999719e-05 × 6371000     		dr = 590.273149999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46393331-0.46402919) × cos(0.26000193) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.966389481967248 × 6371000     		do = 590.320445316082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46393331-0.46402919) × cos(0.25990928) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.966413296505397 × 6371000     		du = 590.334992461955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26000193)-sin(0.25990928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966389481967248-0.966413296505397)×R²
    abs(0.46402919-0.46393331)×2.38145381485921e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.38145381485921e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.38145381485921e-05×40589641000000     		ar = 348454.602410189m²