Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37607 / 28185
↖ ↑ ↗
← N 24.402136°
E 26.581421°		 ← 556.28 m → N 24.402136°
E 26.586914°		 →
↑
556.25 m
↓
↑
556.25 m
↓
N 24.397133°
E 26.581421°		 ← 556.31 m →
309 440 m²		 N 24.397133°
E 26.586914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573844909667969 y=0.430076599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573844909667969 × 216)
    floor (0.573844909667969 × 65536)
    floor (37607.5)     		tx = 37607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430076599121094 × 216)
    floor (0.430076599121094 × 65536)
    floor (28185.5)     		ty = 28185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37607 / 28185 ti = "16/37607/28185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37607/28185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37607 ÷ 216
    37607 ÷ 65536     		x = 0.573837280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28185 ÷ 216
    28185 ÷ 65536     		y = 0.430068969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573837280273438 × 2 - 1) × π
    0.147674560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46393331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430068969726562 × 2 - 1) × π
    0.139862060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.439389621917435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46393331} λ = 0.46393331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439389621917435))-π/2
    2×atan(1.55175976923707)-π/2
    2×0.998346968469589-π/2
    1.99669393693918-1.57079632675     		φ = 0.42589761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46393331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.581421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42589761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.402136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37607 KachelY 28185 0.46393331 0.42589761 26.581421 24.402136
    Oben rechts KachelX + 1 37608 KachelY 28185 0.46402919 0.42589761 26.586914 24.402136
    Unten links KachelX 37607 KachelY + 1 28186 0.46393331 0.42581030 26.581421 24.397133
    Unten rechts KachelX + 1 37608 KachelY + 1 28186 0.46402919 0.42581030 26.586914 24.397133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42589761-0.42581030) × R
    8.73100000000071e-05 × 6371000     		dl = 556.252010000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42589761-0.42581030) × R
    8.73100000000071e-05 × 6371000     		dr = 556.252010000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46393331-0.46402919) × cos(0.42589761) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.910668262733212 × 6371000     		do = 556.283056079569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46393331-0.46402919) × cos(0.42581030) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.910704330373485 × 6371000     		du = 556.305088051009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42589761)-sin(0.42581030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910668262733212-0.910704330373485)×R²
    abs(0.46402919-0.46393331)×3.60676402728632e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.60676402728632e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.60676402728632e-05×40589641000000     		ar = 309439.695933958m²