Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37606 / 27943
↖ ↑ ↗
← N 25.606856°
E 26.575928°		 ← 550.80 m → N 25.606856°
E 26.581421°		 →
↑
550.84 m
↓
↑
550.84 m
↓
N 25.601902°
E 26.575928°		 ← 550.82 m →
303 405 m²		 N 25.601902°
E 26.581421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573829650878906 y=0.426383972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573829650878906 × 216)
    floor (0.573829650878906 × 65536)
    floor (37606.5)     		tx = 37606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426383972167969 × 216)
    floor (0.426383972167969 × 65536)
    floor (27943.5)     		ty = 27943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37606 / 27943 ti = "16/37606/27943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37606/27943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37606 ÷ 216
    37606 ÷ 65536     		x = 0.573822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27943 ÷ 216
    27943 ÷ 65536     		y = 0.426376342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573822021484375 × 2 - 1) × π
    0.14764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46383744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426376342773438 × 2 - 1) × π
    0.147247314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.462591081333542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46383744} λ = 0.46383744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462591081333542))-π/2
    2×atan(1.58818377162434)-π/2
    2×1.00886013747867-π/2
    2.01772027495735-1.57079632675     		φ = 0.44692395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46383744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.575928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44692395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.606856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37606 KachelY 27943 0.46383744 0.44692395 26.575928 25.606856
    Oben rechts KachelX + 1 37607 KachelY 27943 0.46393331 0.44692395 26.581421 25.606856
    Unten links KachelX 37606 KachelY + 1 27944 0.46383744 0.44683749 26.575928 25.601902
    Unten rechts KachelX + 1 37607 KachelY + 1 27944 0.46393331 0.44683749 26.581421 25.601902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44692395-0.44683749) × R
    8.64600000000104e-05 × 6371000     		dl = 550.836660000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44692395-0.44683749) × R
    8.64600000000104e-05 × 6371000     		dr = 550.836660000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46383744-0.46393331) × cos(0.44692395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901780815924352 × 6371000     		do = 550.796693587204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46383744-0.46393331) × cos(0.44683749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901818180017623 × 6371000     		du = 550.81951511841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44692395)-sin(0.44683749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901780815924352-0.901818180017623)×R²
    abs(0.46393331-0.46383744)×3.73640932703756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73640932703756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73640932703756e-05×40589641000000     		ar = 303405.296691776m²