Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37602 / 27870
↖ ↑ ↗
← N 25.967922°
E 26.553955°		 ← 549.12 m → N 25.967922°
E 26.559448°		 →
↑
549.12 m
↓
↑
549.12 m
↓
N 25.962984°
E 26.553955°		 ← 549.15 m →
301 538 m²		 N 25.962984°
E 26.559448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573768615722656 y=0.425270080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573768615722656 × 216)
    floor (0.573768615722656 × 65536)
    floor (37602.5)     		tx = 37602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425270080566406 × 216)
    floor (0.425270080566406 × 65536)
    floor (27870.5)     		ty = 27870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37602 / 27870 ti = "16/37602/27870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37602/27870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37602 ÷ 216
    37602 ÷ 65536     		x = 0.573760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27870 ÷ 216
    27870 ÷ 65536     		y = 0.425262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573760986328125 × 2 - 1) × π
    0.14752197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46345395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425262451171875 × 2 - 1) × π
    0.14947509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46958986867807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46345395} λ = 0.46345395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46958986867807))-π/2
    2×atan(1.59933812003109)-π/2
    2×1.01201103479065-π/2
    2.0240220695813-1.57079632675     		φ = 0.45322574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46345395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.553955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45322574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.967922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37602 KachelY 27870 0.46345395 0.45322574 26.553955 25.967922
    Oben rechts KachelX + 1 37603 KachelY 27870 0.46354982 0.45322574 26.559448 25.967922
    Unten links KachelX 37602 KachelY + 1 27871 0.46345395 0.45313955 26.553955 25.962984
    Unten rechts KachelX + 1 37603 KachelY + 1 27871 0.46354982 0.45313955 26.559448 25.962984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45322574-0.45313955) × R
    8.6189999999986e-05 × 6371000     		dl = 549.116489999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45322574-0.45313955) × R
    8.6189999999986e-05 × 6371000     		dr = 549.116489999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46345395-0.46354982) × cos(0.45322574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899039334312526 × 6371000     		do = 549.12223014702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46345395-0.46354982) × cos(0.45313955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.899077070805213 × 6371000     		du = 549.145279135236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45322574)-sin(0.45313955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899039334312526-0.899077070805213)×R²
    abs(0.46354982-0.46345395)×3.77364926866797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77364926866797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77364926866797e-05×40589641000000     		ar = 301538.400075867m²