Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37602 / 27750
↖ ↑ ↗
← N 26.559050°
E 26.553955°		 ← 546.33 m → N 26.559050°
E 26.559448°		 →
↑
546.38 m
↓
↑
546.38 m
↓
N 26.554136°
E 26.553955°		 ← 546.36 m →
298 511 m²		 N 26.554136°
E 26.559448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573768615722656 y=0.423439025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573768615722656 × 216)
    floor (0.573768615722656 × 65536)
    floor (37602.5)     		tx = 37602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423439025878906 × 216)
    floor (0.423439025878906 × 65536)
    floor (27750.5)     		ty = 27750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37602 / 27750 ti = "16/37602/27750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37602/27750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37602 ÷ 216
    37602 ÷ 65536     		x = 0.573760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27750 ÷ 216
    27750 ÷ 65536     		y = 0.423431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573760986328125 × 2 - 1) × π
    0.14752197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46345395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423431396484375 × 2 - 1) × π
    0.15313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481094724586884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46345395} λ = 0.46345395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481094724586884))-π/2
    2×atan(1.61784452729816)-π/2
    2×1.01716959760323-π/2
    2.03433919520646-1.57079632675     		φ = 0.46354287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46345395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.553955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46354287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.559050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37602 KachelY 27750 0.46345395 0.46354287 26.553955 26.559050
    Oben rechts KachelX + 1 37603 KachelY 27750 0.46354982 0.46354287 26.559448 26.559050
    Unten links KachelX 37602 KachelY + 1 27751 0.46345395 0.46345711 26.553955 26.554136
    Unten rechts KachelX + 1 37603 KachelY + 1 27751 0.46354982 0.46345711 26.559448 26.554136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46354287-0.46345711) × R
    8.57599999999903e-05 × 6371000     		dl = 546.376959999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46354287-0.46345711) × R
    8.57599999999903e-05 × 6371000     		dr = 546.376959999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46345395-0.46354982) × cos(0.46354287) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894474026798921 × 6371000     		do = 546.333796151421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46345395-0.46354982) × cos(0.46345711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894512368513167 × 6371000     		du = 546.357214801564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46354287)-sin(0.46345711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894474026798921-0.894512368513167)×R²
    abs(0.46354982-0.46345395)×3.8341714246215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8341714246215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8341714246215e-05×40589641000000     		ar = 298510.596574884m²