Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37601 / 27871
↖ ↑ ↗
← N 25.962984°
E 26.548462°		 ← 549.20 m → N 25.962984°
E 26.553955°		 →
↑
549.18 m
↓
↑
549.18 m
↓
N 25.958045°
E 26.548462°		 ← 549.23 m →
301 618 m²		 N 25.958045°
E 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573753356933594 y=0.425285339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573753356933594 × 216)
    floor (0.573753356933594 × 65536)
    floor (37601.5)     		tx = 37601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425285339355469 × 216)
    floor (0.425285339355469 × 65536)
    floor (27871.5)     		ty = 27871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37601 / 27871 ti = "16/37601/27871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37601/27871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37601 ÷ 216
    37601 ÷ 65536     		x = 0.573745727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27871 ÷ 216
    27871 ÷ 65536     		y = 0.425277709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573745727539062 × 2 - 1) × π
    0.147491455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46335807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425277709960938 × 2 - 1) × π
    0.149444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.46949399487883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46335807} λ = 0.46335807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46949399487883))-π/2
    2×atan(1.59918479275941)-π/2
    2×1.01196793672781-π/2
    2.02393587345563-1.57079632675     		φ = 0.45313955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46335807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.548462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45313955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.962984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37601 KachelY 27871 0.46335807 0.45313955 26.548462 25.962984
    Oben rechts KachelX + 1 37602 KachelY 27871 0.46345395 0.45313955 26.553955 25.962984
    Unten links KachelX 37601 KachelY + 1 27872 0.46335807 0.45305335 26.548462 25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 37602 KachelY + 1 27872 0.46345395 0.45305335 26.553955 25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45313955-0.45305335) × R
    8.61999999999807e-05 × 6371000     		dl = 549.180199999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45313955-0.45305335) × R
    8.61999999999807e-05 × 6371000     		dr = 549.180199999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46335807-0.46345395) × cos(0.45313955) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.899077070805213 × 6371000     		do = 549.202559335387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46335807-0.46345395) × cos(0.45305335) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 549.2256093217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45313955)-sin(0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899077070805213-0.89911480499604)×R²
    abs(0.46345395-0.46335807)×3.77341908271989e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.77341908271989e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.77341908271989e-05×40589641000000     		ar = 301617.500860982m²