Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37600 / 29408
↖ ↑ ↗
← N 69.930300°
W 76.728516°		 ← 104.81 m → N 69.930300°
W 76.725769°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
N 69.929357°
W 76.728516°		 ← 104.82 m →
10 991 m²		 N 69.929357°
W 76.725769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.286869049072266 y=0.224369049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.286869049072266 × 217)
    floor (0.286869049072266 × 131072)
    floor (37600.5)     		tx = 37600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224369049072266 × 217)
    floor (0.224369049072266 × 131072)
    floor (29408.5)     		ty = 29408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37600 / 29408 ti = "17/37600/29408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37600/29408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37600 ÷ 217
    37600 ÷ 131072     		x = 0.286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29408 ÷ 217
    29408 ÷ 131072     		y = 0.224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.42626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33916523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224365234375 × 2 - 1) × π
    0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33916523} λ = -1.33916523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73186430947339))-π/2
    2×atan(5.65117964150921)-π/2
    2×1.39565515588007-π/2
    2.79131031176013-1.57079632675     		φ = 1.22051399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33916523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.728516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22051399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37600 KachelY 29408 -1.33916523 1.22051399 -76.728516 69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 37601 KachelY 29408 -1.33911729 1.22051399 -76.725769 69.930300
    Unten links KachelX 37600 KachelY + 1 29409 -1.33916523 1.22049753 -76.728516 69.929357
    Unten rechts KachelX + 1 37601 KachelY + 1 29409 -1.33911729 1.22049753 -76.725769 69.929357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22051399-1.22049753) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dl = 104.866659999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22051399-1.22049753) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dr = 104.866659999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33916523--1.33911729) × cos(1.22051399) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.343163013265997 × 6371000     		do = 104.810817267814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33916523--1.33911729) × cos(1.22049753) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.34317847370021 × 6371000     		du = 104.815539282374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22051399)-sin(1.22049753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163013265997-0.34317847370021)×R²
    abs(-1.33911729--1.33916523)×1.54604342130771e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.54604342130771e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.54604342130771e-05×40589641000000     		ar = 10991.4079298933m²